รากของสมการ

- รากของสมการพหุนามคือค่าที่แทนแล้วทำให้พหุนามเป็นศูนย์ - การแยกตัวประกอบช่วยหาราก แต่ทุกคำตอบต้องแทนกลับในสมการเดิม

• ใช้การแยกตัวประกอบและการหารพหุนาม
• ใช้การแก้สมการกำลังสอง

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. รากกับตัวประกอบของพหุนาม

• ความสัมพันธ์ระหว่างรากและตัวประกอบ:
  • สมการ $p(x) = 0$ มีรากคือ $x = a$ ก็ต่อเมื่อ $p(a) = 0$
  • จากทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem): เงื่อนไข $p(a) = 0$ เทียบเท่ากับพหุนาม $p(x)$ มี $x - a$ เป็นตัวประกอบ
  • หากแยกตัวประกอบได้ $p(x) = (x - a)q(x)$ สมบัติผลคูณเป็นศูนย์จะระบุว่า $x = a$ หรือ $q(x) = 0$ ซึ่งเปิดทางให้ใช้การหารเพื่อลดดีกรีของพหุนามลงทีละขั้น
• ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ (Rational Root Theorem):
  • สำหรับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม $a_n x^n + \dots + a_0 = 0$ (โดยที่ $a_n \ne 0, a_0 \ne 0$):
  • รากตรรกยะที่เป็นไปได้ทั้งหมดต้องอยู่ในรูป $\pm \frac{p}{q}$ โดยที่:
    • $p$ เป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของพจน์คงที่ $a_0$
    • $q$ เป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของสัมประสิทธิ์นำ $a_n$
    • ห.ร.ม. ของ $p$ และ $q$ เท่ากับ 1 ($\gcd(p, q) = 1$)
  • ช่วยจำกัดขอบเขตจำนวนที่ต้องนำมาทดสอบแทนค่าลงในสมการ

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • ผังความสมมูล: แสดงลูกศรสองหัวเชื่อมโยงสามข้อความ: $p(a) = 0 \iff a \text{ เป็นรากของ } p(x) \iff x - a \text{ เป็นตัวประกอบของ } p(x)$

2. สูตรกำลังสองและดิสคริมิแนนต์

• สูตรคำนวณรากสมการกำลังสอง:
  • สำหรับสมการ $ax^2 + bx + c = 0$ เมื่อ $a \ne 0$: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
• การจำแนกชนิดรากด้วยดิสคริมิแนนต์ ($\Delta = b^2 - 4ac$):
  • $\Delta > 0$: มีรากเป็นจำนวนจริง $2$ รากที่แตกต่างกัน
  • $\Delta = 0$: มีรากเป็นจำนวนจริง $1$ ราก (รากซ้ำกันอันดับสอง)
  • $\Delta < 0$: ไม่มีรากเป็นจำนวนจริง (รากเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นสังยุคกัน)

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • การแตก 3 กรณี: สรุปกรณีของค่า $\Delta = b^2 - 4ac$ ทั้งสามรูปแบบชัดเจน ช่วยในการตัดสินจำนวนคำตอบของสมการโดยไม่ต้องหาค่ารากจริง

3. ความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ (Vieta's Formulas)

• พหุนามกำลังสอง ($ax^2 + bx + c = 0, a \ne 0$):
  • เมื่อมีรากคือ $r_1, r_2$:
    • ผลบวกของราก: $r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}$
    • ผลคูณของราก: $r_1 r_2 = \frac{c}{a}$
• การหาตัวเลือกรากตรรกยะ:
  • หากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและ $a_0 = 0$ ให้ดึงตัวประกอบร่วม $x$ ออกมาก่อน เพื่อให้รากแรกคือ $0$ แล้วพิจารณาส่วนที่เหลือ

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:

  • ผังกระบวนการหาตัวเลือกราก: เริ่มจากตรวจพจน์คงที่ $a_0$ หากไม่เป็นศูนย์ จึงสร้างตัวเลือกผู้สมัครรากตรรกยะ $\pm p/q$ แล้วนำไปทดสอบด้วยการหารสังเคราะห์หรือแทนค่า

• พหุนามกำลังสาม ($Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0, A \ne 0$):

  • เมื่อมีรากคือ $r_1, r_2, r_3$ (นับรากซ้ำตาม Multiplicity):
    • ผลบวกราก: $r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{B}{A}$
    • ผลบวกของผลคูณทีละสองราก: $r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{C}{A}$
    • ผลคูณของรากทั้งสาม: $r_1 r_2 r_3 = -\frac{D}{A}$

• ข้อควรระวังในการใช้:

  • สูตรนับรากครบทุกรากตาม Multiplicity รวมถึงรากเชิงซ้อนด้วย
  • หากโจทย์ถามจำนวนสมาชิกในเซตคำตอบ รากที่ซ้ำกันจะนับเป็นสมาชิกเดียวในเซต

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • สูตรพหุนามกำลังสาม: สรุปความสัมพันธ์ทั้งสามชุดอย่างสมบูรณ์ พร้อมเตือนการนับรากซ้ำและรากเชิงซ้อน

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด