พหุนามและการหาร

การหารพหุนามแยกนิพจน์เป็นตัวหาร × ผลหาร + เศษ; ทฤษฎีเศษเหลือทำให้หาค่าเศษของตัวหารเชิงเส้นได้ด้วยการแทนค่าเพียงครั้งเดียว

เลขชี้กำลังจำนวนเต็มไม่ลบ การจัดรูปพจน์คล้าย และการหารจำนวน

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. ดีกรีกำกับขั้นตอนหาร

นิยามพหุนามและดีกรี:
- พหุนามเขียนในรูปผลบวกของพจน์ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
- ดีกรี (Degree): เลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปร $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ เช่น $4x^3 - 2x + 1$ มีดีกรีเท่ากับ $3$
ขั้นตอนวิธีการหารพหุนาม (Polynomial Division Algorithm):
- เมื่อหาร $f(x)$ ด้วยพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ $g(x)$ จะมีผลหาร $q(x)$ และเศษเหลือ $r(x)$ เพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับ: $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$
- เงื่อนไขสำคัญของเศษเหลือ: $r(x) = 0$ (หารลงตัว) หรือ $\deg r < \deg g$ (ดีกรีของเศษต้องน้อยกว่าดีกรีของตัวหารเสมอ)
- ในการหารยาว ให้เลือกพจน์นำของผลหารมาคูณกับพจน์นำของตัวหารเพื่อกำจัดพจน์กำลังสูงสุดของตัวตั้งในแต่ละรอบจนกระทั่งดีกรีของตัวตั้งที่เหลือต่ำกว่าตัวหาร

ตัวอย่าง 4x³−2x+1 มีดีกรี 3; การหารแสดง f(x)=g(x)q(x)+r(x) เมื่อ g(x)≠0 และ r=0 หรือ deg r<deg g; ขั้นตอนเลือกพจน์นำ ทำให้พจน์นำตรงกัน หักออก แล้วทำซ้ำจนดีกรีเศษต่ำกว่าดีกรีตัวหาร — ภาพสรุปการหาดีกรีและการหารพหุนาม โดยเศษเป็นศูนย์หรือมีดีกรีต่ำกว่าตัวหาร

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- โครงสร้างขั้นตอน: แสดงตัวอย่างพหุนามดีกรี 3, รูปแบบสมการ $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$ พร้อมเงื่อนไข $\deg r < \deg g$ และขั้นตอนการเลือกพจน์นำเพื่อหักล้างพจน์ดีกรีสูงสุดทีละขั้น

2. ทฤษฎีบทเศษเหลือและการหารสังเคราะห์

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem):
- เมื่อหารพหุนาม $f(x)$ ด้วยพหุนามเชิงเส้นรูป $x - c$ เศษเหลือที่ได้จะเท่ากับค่าคงที่ $f(c)$ ทันทีโดยไม่ต้องตั้งหารยาว
- เช่น การหาร $f(x)$ ด้วย $x - 2$ จะได้เศษเท่ากับ $f(2)$ หรือหารด้วย $x + 2$ จะได้เศษเท่ากับ $f(-2)$
การหารสังเคราะห์ (Synthetic Division):
- เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร $q(x)$ และเศษเหลือ $f(c)$ สำหรับตัวหารเชิงเส้น $x - c$
- จัดเรียงเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวตั้งตามลำดับดีกรีจากมากไปน้อย (หากพจน์ใดหายไปต้องใส่สัมประสิทธิ์ $0$ )
- ข้อควรระวังสำคัญ: หากตัวหารอยู่ในรูป $ax - b$ $a x - b$ (โดยที่ $a \ne 1$ $a \neq = 1$ ):
  - ค่าคงที่ที่นำมาหารสังเคราะห์คือ $c = \frac{b}{a}$
  - เศษเหลือที่ได้ยังคงถูกต้องและเท่ากับ $f(\frac{b}{a})$
  - แต่สัมประสิทธิ์ของผลหารในแถวล่างสุดจะต้องนำไปหารด้วย $a$ ก่อน จึงจะได้ผลหาร $q(x)$ ที่แท้จริง

แผนภาพสามขั้นแสดง f(x)=(x−a)q(x)+r โดย r เป็นค่าคงตัว จากนั้นแทน x=a ให้พจน์ (a−a)q(a) เป็นศูนย์ จึงได้ f(a)=r; ขั้นสุดท้ายระบุว่า x−a เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ f(a)=0 และตัวหาร x+2 ต้องใช้ a=−2 ไม่ใช่ 2 — ภาพแสดงการหารด้วย x−a แล้วแทน x=a จนได้เศษ r=f(a); สังเกตว่า x−a เป็นตัวประกอบเมื่อ f(a)=0 และ x+2 ใช้ a=−2

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- แผนภาพสามขั้น: แสดงที่มาของทฤษฎีบทเศษเหลือ $f(x) = (x-a)q(x) + r$ เมื่อแทน $x = a$ จะได้ $f(a) = r$ และชี้ให้เห็นว่า $x - a$ เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ $f(a) = 0$ พร้อมเตือนว่าตัวหาร $x + 2$ ต้องใช้ $a = -2$

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ถามผลหาร/เศษ หรือให้ตรวจว่าตัวประกอบเชิงเส้นหารลงตัวหรือไม่

สังเกตจากโจทย์: ตัวหารเป็น $x-a$ หรือให้ค่า $f(a)$ มา

เลือกวิธีคิด: ระบุรากที่ทำให้ตัวหารเป็นศูนย์ก่อน; ใช้การแทนค่าเพื่อหาเศษ หรือหารสังเคราะห์แล้วตรวจด้วย $f=gq+r$

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · หารพหุนามและตรวจว่าเศษเป็นศูนย์

หาร $x^3-2x^2-5x+6$ ด้วย $x-3$

ตัวหาร $x-3$ ให้ค่าที่ใช้หารสังเคราะห์คือ 3; เขียนสัมประสิทธิ์ครบเป็น $1,-2,-5,6$
นำ 1 ลง คูณ 3 ได้ 3 รวมกับ -2 เป็น 1; คูณได้ 3 รวมกับ -5 เป็น -2; คูณได้ -6 รวมกับ 6 เป็น 0
จึงได้ผลหาร $x^2+x-2$ และเศษ 0

คำตอบ: $x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x^2+x-2)$

ตรวจเหตุผล: คูณกลับได้ $x^3-2x^2-5x+6$ ; อีกทาง $f(3)=27-18-15+6=0$ ยืนยันเศษเป็นศูนย์

ตัวอย่าง 2 · ใช้ทฤษฎีเศษเหลือโดยไม่หารยาว

หาเศษเมื่อ $2x^3+x^2-3$ หารด้วย $x+1$

เขียนตัวหารเป็น $x-(-1)$ จึงใช้ $a=-1$
ตามทฤษฎีเศษเหลือ เศษเท่ากับ $f(-1)$
คำนวณ $2(-1)^3+(-1)^2-3=-2+1-3=-4$

คำตอบ: เศษ $-4$

ตรวจเหตุผล: หารสังเคราะห์ด้วย -1 ได้ผลหาร $2x^2-x+1$ เศษ -4; แทนกลับตรวจ $f=(x+1)(2x^2-x+1)-4$