สมการและอสมการ

สมการถามหาค่าที่ทำให้สองข้างเท่ากัน ส่วนอสมการถามหาช่วงที่ทำให้ความสัมพันธ์เป็นจริง; ทุกการแปลงต้องรักษาเซตคำตอบ

การแยกตัวประกอบพหุนามเบื้องต้น การแก้สมการเชิงเส้น และช่วงบนเส้นจำนวน

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. การแปลงที่รักษาความสมมูล

การดำเนินการที่รักษาความสมมูล (Reversible Transformations):
- การบวกหรือลบด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกันทั้งสองข้าง
- การคูณหรือหารด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งสองข้าง
การดำเนินการที่เสี่ยงสร้างคำตอบเกินหรือทำคำตอบตกหล่น:
- การคูณด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร: อาจเผลอคูณด้วยศูนย์ ซึ่งเพิ่มคำตอบเกิน
- การหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร: อาจเผลอตัดพจน์ที่เป็นศูนย์ออก ทำให้ทำคำตอบตกหล่น
- การยกกำลังสองทั้งสองข้าง: อาจสร้างคำตอบเทียม จึงต้องจดเงื่อนไขและตรวจคำตอบกับสมการเดิมเสมอ
สมบัติผลคูณเป็นศูนย์:
- ถ้า $f(x)g(x) = 0$ แล้วจะได้ $f(x) = 0$ หรือ $g(x) = 0$ (ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์พร้อมกันทั้งคู่)

แผงแรกระบุว่าบวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง และคูณหรือหารด้วยจำนวนไม่เป็นศูนย์ เป็นการแปลงที่ตรวจกลับได้; แผงสองเตือนว่าคูณด้วยนิพจน์ที่อาจเป็นศูนย์หรือยกกำลัง/ถอดรากอาจเพิ่มหรือตัดคำตอบ จึงต้องระบุเงื่อนไขและตรวจสมการเดิม; แผงสามแสดง f(x)g(x)=0 แล้วได้ f(x)=0 หรือ g(x)=0 ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ทั้งคู่ — ภาพสรุปการแปลงสมการที่ย้อนกลับได้ เทียบกับการแปลงที่อาจเปลี่ยนคำตอบ และแสดงว่าผลคูณเป็นศูนย์เมื่อ f(x) หรือ g(x) เป็นศูนย์

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- สามแผงแสดงหลักการแปลง: แผงแรกแสดงการดำเนินการที่ย้อนกลับได้, แผงที่สองเตือนระวังการคูณตัวแปรหรือยกกำลังสอง, และแผงที่สามสรุปสมบัติผลคูณเป็นศูนย์

2. การแก้อสมการพหุนามและเส้นจำนวน

ขั้นตอนมาตรฐานในการแก้อสมการ:
1. ย้ายพจน์ทั้งหมดมาไว้ข้างเดียว เพื่อให้อีกข้างหนึ่งเป็น $0$
2. แยกตัวประกอบของพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณของพจน์เชิงเส้น
3. หาค่าวิกฤต (จุดที่แต่ละตัวประกอบเท่ากับ $0$ ) แล้วนำไปลงบนเส้นจำนวน
4. ทดสอบเครื่องหมายในแต่ละช่วงย่อย โดยเริ่มจากขวาสุดเป็นบวก ( $+$ ) เมื่อสัมประสิทธิ์หน้า $x$ ทุกพจน์เป็นบวก แล้วสลับเครื่องหมาย ( $-$ ) ข้ามจุดวิกฤต
พฤติกรรมของรากซ้ำ (Multiplicity):
- รากซ้ำอันดับคี่: เครื่องหมายจะสลับเมื่อข้ามจุดวิกฤต
- รากซ้ำอันดับคู่ (เช่น $(x - c)^2$ ): นิพจน์จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อข้ามจุด $c$ จึงต้องคงเครื่องหมายเดิมไว้ทั้งสองฝั่ง

สำหรับ (x−2)(x−3)≤0 ตารางแสดงเครื่องหมาย + เมื่อ x<2, เป็นศูนย์ที่ 2, เป็นลบเมื่อ 2<x<3, เป็นศูนย์ที่ 3 และเป็นบวกเมื่อ x>3; เส้นจำนวนปิดปลายทั้ง 2 และ 3 ให้ x∈[2,3]; หมายเหตุว่ารากซ้ำอาจไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย — ตารางเครื่องหมายแสดงว่าผลคูณเป็นบวกนอกช่วงและลบระหว่างราก 2 กับ 3; เครื่องหมาย ≤ จึงให้คำตอบ [2,3] รวมรากทั้งคู่

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- การตรวจเครื่องหมาย: ภาพแสดงตัวอย่าง $(x-2)(x-3) \le 0$ ตารางแจกแจงเครื่องหมาย $+$ , $0$ , $-$ , $0$ , $+$ บนเส้นจำนวน พร้อมแถบทึบช่วงคำตอบ $[2, 3]$ และหมายเหตุเตือนเรื่องรากซ้ำ

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

โจทย์ถามเซตคำตอบของสมการ/อสมการพหุนาม

สังเกตจากโจทย์: แยกตัวประกอบได้ หรือถามค่าที่ทำให้กราฟอยู่เหนือ/ใต้แกน

เลือกวิธีคิด: รวมข้างหนึ่งเป็นศูนย์ หา critical points, ตรวจโดเมน และทดสอบเครื่องหมายในแต่ละช่วงก่อนเขียนยูเนียน

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · แก้อสมการกำลังสองด้วยตารางเครื่องหมาย

แก้ $x^2-5x+6\le0$

แยกตัวประกอบได้ $(x-2)(x-3)\le0$ ; จุดที่เครื่องหมายเปลี่ยนได้คือ 2 และ 3
ตรวจช่วง: ที่ $x=0$ ผลคูณเป็นบวก; ที่ $x=2.5$ เป็นลบ; ที่ $x=4$ เป็นบวก จึงเลือกช่วงระหว่างราก
เครื่องหมาย ≤ รวมราก 2 และ 3 เพราะแทนแล้วได้ศูนย์

คำตอบ: $[2,3]$

ตรวจเหตุผล: ลอง $x=2.5$ ได้ $-0.25\le0$ ; ลอง $x=0$ ได้ 6 ซึ่งไม่ผ่าน; แทนปลายทั้งสองได้ 0

ตัวอย่าง 2 · แก้อสมการเชิงเส้นเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นลบ

แก้ $-3x+6\ge0$

ลบ 6 ทั้งสองข้างได้ $-3x\ge-6$ โดยทิศยังเดิม
หารทั้งสองข้างด้วย -3 ต้องกลับทิศ เพราะการคูณลบกลับลำดับ
จึงได้ $x\le2$

คำตอบ: $(-\infty,2]$

ตรวจเหตุผล: แทน $x=0$ ได้ 6 ผ่าน; แทน $x=3$ ได้ -3 ไม่ผ่าน; ที่ $x=2$ ได้ 0 จึงรวมปลาย