ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์คือระยะทาง จึงไม่ติดลบ และโจทย์ที่มีค่าสัมบูรณ์มักแยกเป็นระยะเท่ากัน ระยะไม่เกิน หรือระยะอย่างน้อย

เส้นจำนวน การแก้สมการเชิงเส้น และความหมายของเครื่องหมายอสมการ

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. ค่าสัมบูรณ์วัดระยะ ไม่ใช่เครื่องหมายของจำนวน

• นิยามเชิงพีชคณิต:
  • $|x| = x$ เมื่อ $x \ge 0$
  • $|x| = -x$ เมื่อ $x < 0$ (โดยที่ $-x$ จะเป็นจำนวนบวกเสมอเมื่อ $x < 0$)
• ความหมายเชิงเรขาคณิต:
  • โดยทั่วไป $|x - a|$ หมายถึง ระยะห่างระหว่างจุด $x$ กับจุด $a$ บนเส้นจำนวน
  • ระยะห่างไม่มีทางติดลบ ($|x - a| \ge 0$ เสมอ)
  • ตัวอย่าง: $|-2 - 1| = |-3| = 3$ และ $|4 - 1| = |3| = 3$ แสดงว่าทั้ง $-2$ และ $4$ ต่างอยู่ห่างจากจุด $1$ เป็นระยะทาง $3$ หน่วยเท่ากัน
  • การมองในเชิงระยะทางทำให้เข้าใจได้ทันทีว่า สมการ $|x - a| = r$ ย่อมมีได้ 2 คำตอบเมื่อ $r > 0$

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • ภาพจำลองระยะทาง: แสดงจุดอ้างอิง $a = 1$ และจุดคำตอบ $x = -2$ กับ $x = 4$ บนเส้นจำนวน โดยมีระยะทางห่างจากจุดอ้างอิงไปทางซ้ายและขวาด้านละ $3$ หน่วยเท่ากัน สรุปสมการ $|x - 1| = 3 \iff x = -2$ หรือ $x = 4$

2. สมการและอสมการแบ่งกรณีจากระยะ

• สำหรับค่าคงที่ $r > 0$:

• สมการค่าสัมบูรณ์:
  • $|u| = r \iff u = r$ หรือ $u = -r$
• อสมการช่วงแคบ (ระยะห่างน้อยกว่า $r$):
  • $|u| < r \iff -r < u < r$ (อยู่ระหว่างจุด $-r$ และ $r$)
  • $|u| \le r \iff -r \le u \le r$ (รวมจุดปลายทั้งสองข้าง)
• อสมการช่วงนอก (ระยะห่างมากกว่า $r$):
  • $|u| > r \iff u < -r$ หรือ $u > r$ (อยู่นอกช่วง ไม่ตัดกัน)
  • $|u| \ge r \iff u \le -r$ หรือ $u \ge r$ (รวมจุดปลายทั้งสองข้าง)
• ข้อควรระวังในการแทนค่า:
  • เมื่อ $u = f(x)$ ต้องนำเงื่อนไขเหล่านี้ไปแก้กับนิพจน์ $f(x)$ จริงอย่างรอบคอบ ห้ามเดาหรือปลดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์โดยไม่แบ่งกรณี

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด