การปฏิเสธประโยค

การปฏิเสธต้องทำให้ค่าความจริงกลับด้านพอดี จึงต้องรักษาโดเมนเดิม สลับตัวบ่งปริมาณ และเปลี่ยนเงื่อนไขของประโยคให้เป็นส่วนเติมเต็มอย่างแม่นยำ

นิเสธ $\neg p$ , ตัวเชื่อม “และ/หรือ/ถ้า…แล้ว…” และตัวบ่งปริมาณ $\forall,\exists$

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. นิเสธต้องจริงพอดีเมื่อประโยคเดิมเท็จ

ความหมายและลักษณะของนิเสธทางคณิตศาสตร์:

นิยามของนิเสธ ( $\neg p$ ):
- นิเสธของประพจน์ $p$ คือ $\neg p$ ซึ่งมีค่าความจริงตรงข้ามกับ $p$ ทุกกรณี
- การเขียนนิเสธต้องครอบคลุมทุกกรณีที่ประโยคเดิมไม่จริง ไม่ใช่เพียงแค่การยกตัวอย่างเฉพาะเจาะจง
นิเสธของข้อความอสมการ:
- นิเสธของ $x > a$ คือ $x \le a$
- นิเสธของ $x \ge a$ คือ $x < a$
- ข้อควรระวังเรื่องจุดปลาย: ต้องรวมกรณีเท่ากันให้ถูกต้อง เช่น นิเสธของ $x\ge 3$ คือ $x < 3$ ไม่ใช่ $x\le 3$ เพราะที่จุด $x=3$ ข้อความเดิมยังเป็นจริงอยู่

ตารางสองแถวมีคอลัมน์ p และ ¬p โดยแถวแรกเป็น T,F และแถวที่สองเป็น F,T; ข้อความท้ายภาพย้ำว่าค่าของ ¬p ตรงข้ามกับ p ทั้งสองกรณี — ตารางแสดงว่านิเสธมีค่าตรงข้ามกับประพจน์เดิมทุกกรณี: เมื่อ p เป็น T, ¬p เป็น F และเมื่อ p เป็น F, ¬p เป็น T

จุดสังเกตสำคัญในภาพ (ตารางนิเสธ):
- เมื่อ $p$ เป็น $T$ จะได้ $\neg p$ เป็น $F$
- เมื่อ $p$ เป็น $F$ จะได้ $\neg p$ เป็น $T$

คู่แรก x>a ใช้วงกลมโปร่งที่ a และแรเงาไปทางขวา ส่วน x≤a ใช้วงกลมทึบที่ a และไปทางซ้าย; คู่ที่สอง x≥3 ปิดจุด 3 และไปขวา ขณะที่นิเสธ x<3 เปิดจุด 3 และไปซ้าย — ภาพเทียบช่วงของอสมการกับนิเสธ: จุดเปิด/ปิดบอกว่ารวมค่าขอบเขตหรือไม่; สังเกตว่า x=3 อยู่ใน x≥3 แต่ไม่อยู่ในนิเสธ x<3

จุดสังเกตสำคัญในภาพ (อสมการบนเส้นจำนวน):
- คู่แรก: $x > a$ (จุดโปร่งที่ $a$ ไปทางขวา) มีนิเสธเป็น $x \le a$ (จุดทึบที่ $a$ ไปทางซ้าย)
- คู่ที่สอง: $x \ge 3$ (จุดทึบที่ 3 ไปทางขวา) มีนิเสธเป็น $x < 3$ (จุดโปร่งที่ 3 ไปทางซ้าย)

2. ปฏิเสธตัวบ่งปริมาณโดยสลับ “ทุก” กับ “มี”

กฎการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ:

กฎหลักของการสลับตัวบ่งปริมาณ:
- $\neg(\forall x\in D, P(x)) \equiv \exists x\in D, \neg P(x)$ : “ไม่ใช่ว่าทุกตัวจะสอดคล้องกับ $P$ ” มีความหมายเท่ากับ “มีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่สอดคล้องกับ $P$ ”
- $\neg(\exists x\in D, P(x)) \equiv \forall x\in D, \neg P(x)$ : “ไม่มีตัวใดเลยที่สอดคล้องกับ $P$ ” มีความหมายเท่ากับ “ทุกตัวไม่สอดคล้องกับ $P$ ”
เงื่อนไขโดเมน: ต้องคงโดเมน $D$ ไว้เหมือนเดิมเสมอ ไม่สลับหรือเปลี่ยนโดเมนเมื่อใส่นิเสธ

แผงบนแสดง ¬(∀x∈D,P(x)) เทียบเท่ากับ ∃x∈D,¬P(x) พร้อมความหมายว่าไม่ใช่ทุกตัวผ่านจึงมีอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่ผ่าน; แผงล่างแสดง ¬(∃x∈D,P(x)) เทียบเท่ากับ ∀x∈D,¬P(x) พร้อมความหมายว่าไม่มีตัวใดผ่านจึงทุกตัวไม่ผ่าน และย้ำให้คงโดเมน D เดิม — ภาพจับคู่การปฏิเสธ “ทุกตัวผ่าน” กับ “มีอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่ผ่าน” และ “มีตัวใดผ่าน” กับ “ทุกตัวไม่ผ่าน”; สังเกตว่าตัวบ่งปริมาณสลับกันและโดเมน D คงเดิม

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- แผงบน: การปฏิเสธ $\forall$ เปลี่ยนเป็น $\exists$ และกระจายนิเสธเข้าหน้าประโยคเปิด $\neg P(x)$
- แผงล่าง: การปฏิเสธ $\exists$ เปลี่ยนเป็น $\forall$ และกระจายนิเสธเข้าหน้าประโยคเปิด $\neg P(x)$ โดยคงโดเมน $D$ เดิมไว้

3. ปฏิเสธตัวเชื่อมโดยเปลี่ยนโครงสร้างให้ครบ

การกระจายนิเสธผ่านตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์:

กฎของเดอมอร์แกน:
- $\neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q$
- $\neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q$
นิเสธของเงื่อนไขถ้า...แล้ว ( $p\to q$ ):
- $\neg(p\to q) \equiv p\land\neg q$
- เหตุผล: เนื่องจากประพจน์ $p\to q$ จะมีค่าความจริงเป็นเท็จเพียงกรณีเดียวคือ $p=T$ และ $q=F$ ดังนั้นนิเสธจึงคือข้อความ “ $p$ เป็นจริง และ $q$ เป็นเท็จ”
- ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: นิเสธของ $p\to q$ ไม่ใช่ $\neg p\to\neg q$ และไม่ใช่ $q\to p$

สามแผงแสดง ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q, ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q และ ¬(p→q) ≡ p∧¬q; ป้ายกำกับระบุการสลับตัวเชื่อม และกรณี p จริง q เท็จทำให้ p→q เป็นเท็จ — ภาพแสดงกฎดีมอร์แกนที่สลับ และ/หรือ พร้อมกฎนิเสธเงื่อนไข; สังเกตว่า p→q เท็จเมื่อ p จริงและ q เท็จ จึงได้นิเสธเป็น p∧¬q

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- แผงที่ 1 & 2: แสดงกฎเดอมอร์แกนที่ต้องสลับตัวเชื่อมระหว่าง $\land$ กับ $\lor$
- แผงที่ 3: แสดงนิเสธของประพจน์เชิงเงื่อนไข $\neg(p\to q) \equiv p\land\neg q$ อย่างชัดเจน

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

โจทย์ถาม “ข้อใดเป็นนิเสธ” หรือ “ไม่จริงที่…”

สังเกตจากโจทย์: ข้อความเดิมมีทุก/มีบาง/และ/หรือ/ถ้าแล้ว หรืออสมการรวมเท่ากับ

เลือกวิธีคิด: กำหนดขอบเขตของนิเสธก่อน; สลับ ∀↔∃ หรือ ∧↔∨ ตามกฎ แล้วปฏิเสธเงื่อนไขย่อยโดยรักษาโดเมน

ตรวจตัวเลือกที่ดูเหมือนกลับประโยค

สังเกตจากโจทย์: ตัวเลือกเปลี่ยนลำดับบทตั้ง-ผลตาม หรือเติมคำว่า “ไม่” โดยไม่เปลี่ยนตัวเชื่อม

เลือกวิธีคิด: เลือกค่าที่ทำให้ประโยคเดิมจริงและตรวจว่านิเสธต้องเท็จ; หรือใช้ truth table หาแถวที่นิเสธควรเป็น T

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · ปฏิเสธข้อความสากลโดยเปลี่ยนทุกเป็นมี

เขียนนิเสธของ “สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ , $n^2>0$ ” และตัดสินข้อความนิเสธ

กำหนดโดเมนเป็น $\mathbb{Z}$ และ predicate $P(n):n^2>0$
นิเสธ $\forall$ ต้องเปลี่ยนเป็น $\exists$ และปฏิเสธ $n^2>0$ เป็น $n^2\le0$ ; โดเมนยังเป็นจำนวนเต็มเดิม
เลือก $n=0$ ได้ $0^2=0\le0$ จึงมี witness ทำให้ประโยคนิเสธจริง; ข้อความเดิมจึงไม่จริง

คำตอบ: นิเสธคือ “มีจำนวนเต็ม $n$ ที่ $n^2\le0$ ”; ข้อความนิเสธจริง โดยใช้ $n=0$

ตรวจเหตุผล: แทน $n=0$ ในข้อความเดิมได้ $0>0$ ซึ่งเท็จ และในนิเสธได้ $0\le0$ ซึ่งจริง จึงกลับค่ากันพอดี

ตัวอย่าง 2 · ปฏิเสธเงื่อนไขโดยหากรณีล้มเหลว

ให้ $p$ คือ “จำนวนเต็ม $n$ หารด้วย 4 ลงตัว” และ $q$ คือ “ $n$ เป็นจำนวนคู่” จงเขียนนิเสธของข้อความ $p\to q$

ข้อความเดิม $p\to q$ เท็จเฉพาะกรณีบทตั้ง p จริงและผลตาม q เท็จ
ดังนั้นนิเสธคือ $p\land\neg q$ ไม่ใช่การกลับลำดับของ p และ q
ถ้าข้อความเดิมถูกครอบด้วย “สำหรับทุก n” ด้วย นิเสธทั้งประโยคจะเพิ่มตัวบ่งปริมาณ $\exists n\in\mathbb{Z}$ ไว้ข้างหน้า โดยโดเมนยังเป็นจำนวนเต็มเดิม

คำตอบ: $p\land\neg q$ : “n หารด้วย 4 ลงตัวและ n ไม่เป็นจำนวนคู่”; ถ้าปฏิเสธกฎสำหรับทุก n ให้ใช้ “มีจำนวนเต็ม n ที่…”

ตรวจเหตุผล: ตรวจค่ากรณี $p=T,q=F$ : เงื่อนไขเดิมเป็นเท็จและนิเสธเป็นจริง; กรณีอื่นจะได้ค่าตรงข้ามกัน