ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณเปลี่ยนประโยคเปิดที่ขึ้นกับตัวแปรให้เป็นข้อความที่ตรวจค่าความจริงได้ โดยต้องกำหนดโดเมนก่อนว่า “ทุกตัว” หรือ “มีอย่างน้อยหนึ่งตัว” หมายถึงสมาชิกกลุ่มใด

ประโยคเปิด $P(x)$, โดเมนหรือเอกภพของตัวแปร และค่าความจริงของประพจน์

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. โดเมนบอกว่ากำลังกล่าวถึงสมาชิกกลุ่มใด

• โครงสร้างของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ:

• สัญลักษณ์และความหมาย:
  • ให้ $P(x)$ เป็นประโยคเปิด และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์หรือโดเมน $D$
  • $\forall x\in D, P(x)$: อ่านว่า “สำหรับทุก $x$ ใน $D$, $P(x)$”
  • $\exists x\in D, P(x)$: อ่านว่า “มี $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัวใน $D$ ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริง”
• บทบาทสำคัญของโดเมน:
  • โดเมนเป็นตัวกำหนดค่าความจริงของประโยค เช่น เงื่อนไข $x^2 = 2$
    • เมื่อกำหนดโดเมนเป็นจำนวนเต็ม ($D=\mathbb Z$): ไม่มีจำนวนเต็มใดที่ยกกำลังสองได้ 2 ประโยค $\exists x\in\mathbb Z, (x^2=2)$ จึงเป็น เท็จ
    • เมื่อกำหนดโดเมนเป็นจำนวนจริง ($D=\mathbb R$): มี $x=\sqrt{2}$ ประโยค $\exists x\in\mathbb R, (x^2=2)$ จึงเป็น จริง
  • การเขียนตัวบ่งปริมาณโดยไม่ระบุหรือไม่พิจารณาโดเมนจะทำให้ข้อความไม่สมบูรณ์

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • แผงซ้าย ($D=\mathbb Z$): ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็ม ประโยค $\exists x$ จึงเป็นเท็จ
  • แผงขวา ($D=\mathbb R$): มีคำตอบ $\pm\sqrt{2}$ ในจำนวนจริง ประโยค $\exists x$ จึงเป็นจริง

2. ตรวจ “ทุกตัว” ด้วย counterexample และ “มีตัว” ด้วย witness

• วิธีตัดสินค่าความจริงของประโยคสากลและประโยคมีอยู่จริง:

• ประโยคสากล ($\forall x\in D, P(x)$):
  • เป็นจริง: เมื่อ $P(x)$ เป็นจริงสำหรับสมาชิกทุกตัวในโดเมน $D$
  • เป็นเท็จ: เมื่อพบสมาชิกเพียงตัวเดียวใน $D$ ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ (เรียกว่า ตัวอย่างค้าน หรือ Counterexample)
• ประโยคมีอยู่จริง ($\exists x\in D, P(x)$):
  • เป็นจริง: เมื่อสามารถยกตัวอย่างสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวใน $D$ ที่ทำให้ $P(x)$ เป็นจริงได้ (เรียกว่า พยาน หรือ Witness)
  • เป็นเท็จ: เมื่อสมาชิกทุกตัวใน $D$ ทำให้ $P(x)$ เป็นเท็จ
• ข้อสังเกตเชิงวิธีวิทยา: เมื่อ $D$ เป็นเซตอนันต์ การทดลองแทนค่าตัวเลขเพียงบางค่าไม่เพียงพอจะสรุปประโยค $\forall$ ได้ ต้องมีเหตุผลหรือการพิสูจน์ทั่วไปที่ครอบคลุมทุก $x$

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • ภาพรวมในโดเมน $D=\{1, 2, 3, 4\}$: สมาชิก 1, 2, 4 ผ่านเงื่อนไข $P$ แต่ 3 ไม่ผ่าน
  • การตัดสินประโยค $\forall$: $\forall x\in D, P(x)$ เป็น เท็จ เพราะมีตัวอย่างค้านคือ $x=3$
  • การตัดสินประโยค $\exists$: $\exists x\in D, P(x)$ เป็น จริง เพราะมีพยานคือ $x=1$ (หรือ 2, 4)

3. ตัวบ่งปริมาณซ้อนมีลำดับที่เปลี่ยนความหมาย

• ลำดับของตัวบ่งปริมาณในระดับคณิต 1:

• ลำดับตัวแปรเปลี่ยนความหมาย:
  • $\forall x\in\mathbb R, \exists y\in\mathbb R, (y>x)$: หมายถึง สำหรับจำนวนจริง $x$ ใด ๆ สามารถเลือก $y$ ที่มากกว่า $x$ ได้เสมอ (ค่า $y$ เลือกตาม $x$ แต่ละตัว ประโยคนี้เป็น จริง)
  • $\exists y\in\mathbb R, \forall x\in\mathbb R, (y>x)$: หมายถึง มีจำนวนจริง $y$ เพียงตัวเดียวที่มากกว่าจำนวนจริง $x$ ทุกตัวพร้อมกัน (ประโยคนี้เป็น เท็จ)
• หลักการอ่านจากซ้ายไปขวา: พิจารณาว่าตัวแปรที่อยู่ด้านในสามารถเลือกให้ขึ้นกับตัวแปรที่ถูกเลือกมาก่อนด้านนอกได้หรือไม่

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • แผงบน: $\forall x\in\mathbb R, \exists y\in\mathbb R, (y>x)$ เลือก $y$ ให้เหมาะกับ $x$ แต่ละตัวได้
  • แผงล่าง: $\exists y\in\mathbb R, \forall x\in\mathbb R, (y>x)$ ต้องมี $y$ ตัวเดียวที่มากกว่า $x$ ทุกตัว ซึ่งขัดแย้งกับสมบัติของจำนวนจริง

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด