สมมูลและสัจนิรันดร์

การเปรียบเทียบค่าความจริงครบทุกกรณีช่วยบอกว่าสองรูปแทนความหมายเดียวกันหรือไม่ และช่วยแยกข้อความที่จริงเสมอออกจากข้อความที่จริงเพียงบางกรณี

การสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมและการเปรียบเทียบคอลัมน์

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. สมมูลเมื่อผลตรงกันทุก valuation

การตรวจสอบความสมมูลทางตรรกศาสตร์:

นิยามความสมมูล ( $P\equiv Q$ ):
- ประพจน์เชิงประกอบ $P$ และ $Q$ จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อให้ค่าความจริงตรงกันทุกกรณีของประพจน์ย่อย
- การตรวจด้วยตาราง: ต้องมีค่าความจริงเหมือนกันครบทุกแถว หากพบแม้เพียงแถวเดียวที่ต่างกัน จะถือว่าไม่สมมูลทันที
กฎการสมมูลที่สำคัญ:
- การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข: $p\to q \equiv \neg p\lor q$
- กฎของเดอมอร์แกน: $\neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q$ และ $\neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q$
- ข้อควรระวัง: เมื่อกระจายนิเสธเข้าในวงเล็บ ต้องรักษาขอบเขตและสลับตัวเชื่อมระหว่าง $\land$ กับ $\lor$ เสมอ

ส่วนบนแสดง P และ Q มีค่า T,T แล้ว F,F ตรงกันครบสี่แถวจึงระบุว่าสมมูล; ส่วนล่างยกแถว P=T, Q=F ที่ต่างกันหนึ่งแถวและระบุว่าไม่สมมูล — ตารางเทียบค่า P และ Q ในทุกชุดค่า: คอลัมน์ที่ตรงกันครบทุกแถวจึงสมมูลกัน; หากพบแถวเดียวที่ต่างกันก็หักล้างการสมมูลได้

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- กรณีสมมูล ( $P\equiv Q$ ): แสดงค่าความจริงของ $P$ และ $Q$ ที่ตรงกันทุกแถว ( $T,T$ และ $F,F$ ) ครบทั้ง 4 แถว
- กรณีไม่สมมูล: ยกตัวอย่างแถวที่ $P=T$ แต่ $Q=F$ เพียงแถวเดียวก็สามารถหักล้างความสมมูลได้

2. สัจนิรันดร์ เท็จเสมอ หรือจริงบางกรณี

การจำแนกรูปแบบประพจน์ตามผลลัพธ์ค่าความจริง:

สัจนิรันดร์ (Tautology): ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี (ทุก valuation) เช่น $p\lor\neg p$
ข้อขัดแย้ง (Contradiction): ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี เช่น $p\land\neg p$
จริงบางกรณี (Contingency): ประพจน์ที่มีทั้งแถวที่เป็นจริงและแถวที่เป็นเท็จ
ข้อควรระวัง: ห้ามตัดสินการเป็นสัจนิรันดร์จากการแทนค่าเพียงชุดเดียว เพราะประเภทเหล่านี้อ้างอิงถึงทุกชุดค่าความจริงที่เป็นไปได้

ตาราง p∨¬p ให้ T เมื่อ p เป็น T หรือ F จึงจริงทุกแถว; ตาราง p∧¬p ให้ F ทั้งสองกรณีจึงเท็จทุกแถว; การ์ดจริงบางกรณีแสดงทั้ง T และ F เพื่อบอกว่าผลไม่คงค่าเดียวกันทุกแถว — ภาพเปรียบเทียบสัจนิรันดร์ที่จริงทุกแถว, ข้อขัดแย้งที่เท็จทุกแถว และประพจน์ที่มีทั้งแถวจริงกับแถวเท็จ

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- สัจนิรันดร์: $p\lor\neg p$ ให้ผลลัพธ์ $T$ ทุกแถวไม่ว่า $p$ จะเป็นจริงหรือเท็จ
- ข้อขัดแย้ง: $p\land\neg p$ ให้ผลลัพธ์ $F$ ทุกกรณี
- จริงบางกรณี: แสดงผลลัพธ์ที่มีทั้ง $T$ และ $F$ ผสมกัน

3. ใช้กฎสมมูลโดยรักษาเงื่อนไขเดิม

การจัดรูปทางพีชคณิตตรรกศาสตร์:

หลักการลดรูป: กฎการสมมูลสามารถใช้แทนที่ส่วนย่อยเพื่อลดรูปประพจน์โดยไม่ทำให้ค่าความจริงเปลี่ยน
ข้อพึงระวัง: ต้องระวังขอบเขตของวงเล็บ ห้ามย้ายเครื่องหมายปฏิเสธข้ามตัวเชื่อมโดยไม่ใช้กฎเดอมอร์แกน
ความหมายของสัญลักษณ์ $\equiv$ : สัญลักษณ์ $\equiv$ หมายถึงการสมมูลทางตรรกศาสตร์ (ตารางค่าความจริงตรงกันทุกกรณี) ไม่ใช่สมการพีชคณิตที่แก้หาค่าตัวแปร

แผงบนแสดง ¬(p∧q) เทียบเท่า ¬p∨¬q โดยเปลี่ยน ∧ เป็น ∨; แผงล่างแสดง ¬(p∨q) เทียบเท่า ¬p∧¬q โดยเปลี่ยน ∨ เป็น ∧; ลูกศรชี้ทิศทางการแปลง — ภาพแสดงกฎดีมอร์แกนสองรูป: เมื่อนิเสธทั้งวงเล็บให้ปฏิเสธแต่ละส่วนและสลับ ∧ กับ ∨; สังเกตว่าตำแหน่งวงเล็บเดิมสำคัญ

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- เดอมอร์แกนกรณี “และ”: $\neg(p\land q) \equiv \neg p\lor\neg q$ เปลี่ยน $\land$ เป็น $\lor$
- เดอมอร์แกนกรณี “หรือ”: $\neg(p\lor q) \equiv \neg p\land\neg q$ เปลี่ยน $\lor$ เป็น $\land$ พร้อมลูกศรชี้ทิศทางการแปลงรูป

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

เลือกรูปประพจน์ที่มีความหมายเท่ากับรูปกำหนด

สังเกตจากโจทย์: ตัวเลือกเขียนต่างรูป เช่น มีนิเสธกระจาย วงเล็บเปลี่ยน หรือเปลี่ยนเงื่อนไขเป็น “หรือ”

เลือกวิธีคิด: ใช้กฎสมมูลทีละขั้นหรือสร้างตารางครบทุก valuation; เช็กวงเล็บและแถวที่อาจเป็น counterexample

จำแนกประพจน์ว่าเป็นจริงเสมอหรือไม่

สังเกตจากโจทย์: มีคำว่า “ทุกกรณี”, “สัจนิรันดร์”, “ข้อขัดแย้ง” หรือถามค่าความจริงของรูปแบบ

เลือกวิธีคิด: เติมคอลัมน์ผลลัพธ์ครบทุกแถว; ดูว่าท้ายตารางเป็น T ทั้งหมด, F ทั้งหมด, หรือคละกัน

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · ตรวจสัจนิรันดร์โดยแยกกรณี

พิจารณาว่า $(p\land q)\to p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

หาก $p\land q$ เป็นจริง ย่อมแปลว่า $p$ และ $q$ จริง ดังนั้นผลตาม $p$ จริงด้วย
หาก $p\land q$ เป็นเท็จ เงื่อนไขที่มีบทตั้งเท็จเป็นจริงตามนิยาม
ทุกกรณีจึงให้ประพจน์ผสมเป็นจริง ไม่ขึ้นกับค่า q

คำตอบ: เป็นสัจนิรันดร์

ตรวจเหตุผล: ตรวจสองกรณีของบทตั้งครอบคลุมทุก valuation; เทียบตาราง 4 แถวก็ได้คอลัมน์สุดท้าย $T,T,T,T$

ตัวอย่าง 2 · ใช้ดีมอร์แกนลดรูปนิเสธของส่วนร่วม

เขียน $\neg(p\land q)$ ในรูปที่ไม่มีนิเสธครอบทั้งวงเล็บ แล้วอธิบายความหมาย

ข้อความเดิมแปลว่า “ไม่จริงที่ p และ q จริงพร้อมกัน”
ตามกฎดีมอร์แกน เมื่อปฏิเสธ “และ” ให้เปลี่ยนเป็น “หรือ” และปฏิเสธทั้งสองส่วน
จึงได้ $\neg p\lor\neg q$ : อย่างน้อยหนึ่งใน p หรือ q ไม่จริง

คำตอบ: $\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q$

ตรวจเหตุผล: ทั้งสองรูปเป็นเท็จเฉพาะกรณี p และ q จริงทั้งคู่ จึงมีคอลัมน์ค่าเท่ากันครบสี่แถว