ประพจน์และตัวเชื่อม

ก่อนหาค่าความจริง ให้แยกก่อนว่าข้อความนั้นตัดสินจริงหรือเท็จได้หรือยัง แล้วจึงเชื่อมข้อความย่อยตามความหมายของ และ/หรือ/ถ้า…แล้ว…/ก็ต่อเมื่อ

ข้อความบอกเล่าและค่าความจริง “จริง” หรือ “เท็จ”; ในบทนี้ “หรือ” เป็นหรือแบบรวม คือยอมให้จริงทั้งสองข้อความได้

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. ประพจน์ต้องตัดสินจริงหรือเท็จได้

• การจำแนกประพจน์และการแยกแยะประโยคเปิด:

• นิยามของประพจน์ (Proposition):
  • คือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็น จริง ($T$) หรือ เท็จ ($F$) อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
  • ตัวอย่าง: “$7$ เป็นจำนวนเฉพาะ” เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ($T$); “$9$ เป็นจำนวนเฉพาะ” เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ($F$)
  • ข้อความที่ไม่เป็นประพจน์: คำถาม คำสั่ง คำขอร้อง หรือคำอุทาน ไม่สามารถตัดสินค่าความจริงได้ จึงไม่เป็นประพจน์
• ประโยคเปิด (Open Sentence):
  • คือประโยคที่มีตัวแปร เช่น “$x+2=5$” ซึ่งยังไม่มีค่าความจริงจนกว่าจะกำหนดค่าให้ตัวแปร $x$ หรือใส่ตัวบ่งปริมาณพร้อมโดเมนกำกับ เช่น “มีจำนวนเต็ม $x$ ที่ทำให้ $x+2=5$” เมื่อระบุครบแล้วจึงกลายเป็นประพจน์

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • การ์ดข้อความจริง/เท็จ: “$7$ เป็นจำนวนเฉพาะ” ($T$) และ “$9$ เป็นจำนวนเฉพาะ” ($F$) เป็นประพจน์ทั้งคู่
  • การ์ดประโยคเปิด: “$x+2=5$” ยังไม่เป็นประพจน์จนกว่าจะทราบค่าของ $x$
  • การ์ดคำถาม: ประโยคคำถามไม่มีค่าความจริง จึงไม่จัดเป็นประพจน์

2. ตัวเชื่อมกำหนดวิธีประกอบค่าความจริง

• การทำงานของตัวเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์พื้นฐาน:

• นิเสธ ($\neg p$ หรือ $\sim p$): เปลี่ยนค่าความจริงเป็นตรงกันข้าม (จริงเป็นเท็จ เท็จเป็นจริง)
• และ ($p\land q$): มีค่าความจริงเป็นจริงเพียงกรณีเดียว คือเมื่อทั้ง $p$ และ $q$ เป็นจริงทั้งคู่
• หรือ ($p\lor q$): มีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อมีอย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นจริง (รวมกรณีที่จริงทั้งคู่ด้วย)
• หลักการประเมินค่า: ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ไม่ได้บอกเนื้อหาเชิงภาษา แต่บอกกฎการคำนวณค่าความจริง ดังนั้นเมื่อโจทย์กำหนดค่าของ $p, q$ มาแล้ว ให้หาค่าของแต่ละส่วนย่อยก่อนนำมาเชื่อมกัน

3. เงื่อนไข “ถ้า…แล้ว…” ไม่เท่ากับเหตุและผลในชีวิตจริง

• ตรรกศาสตร์ของตัวเชื่อมเชิงเงื่อนไขและก็ต่อเมื่อ:

• ถ้า...แล้ว ($p\to q$):
  • กรณีเท็จเพียงหนึ่งเดียว: มีค่าความจริงเป็นเท็จกรณีเดียว คือเมื่อ $p$ เป็นจริง แต่ $q$ เป็นเท็จ ($p=T, q=F$)
  • กรณีเหตุเท็จ: ถ้า $p$ เป็นเท็จ ประพจน์เชิงเงื่อนไขนี้จะมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอตามนิยามตรรกศาสตร์
• ก็ต่อเมื่อ ($p\leftrightarrow q$): มีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงเหมือนกันทั้งคู่ ($TT$ หรือ $FF$)
• เงื่อนไขจำเป็นและเงื่อนไขเพียงพอ:
  • ในข้อความ “ถ้า $p$ แล้ว $q$” จะเรียก $p$ ว่าเป็น เงื่อนไขเพียงพอ (sufficient condition) ของ $q$ และเรียก $q$ ว่าเป็น เงื่อนไขจำเป็น (necessary condition) ของ $p$
  • ข้อควรระวัง: ไม่สามารถสลับเป็น $q\to p$ ได้โดยอัตโนมัติ เช่น “ถ้าหารด้วย 4 ลงตัวแล้วเป็นจำนวนคู่” เป็นจริง แต่จำนวนคู่ไม่จำเป็นต้องหารด้วย 4 ลงตัวเสมอไป

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด