ฟังก์ชันแบ่งช่วง

piecewise function คือฟังก์ชันที่ใช้สูตรต่างกันตามช่วงของ x; ที่จุดแบ่งต้องอ่านเครื่องหมายปลายช่วงและเลือกสูตรที่กำหนดค่านั้น

อ่านอสมการและช่วง รวมถึงแยกวงเล็บโปร่งกับจุดทึบบนกราฟได้

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. เลือกกฎจากค่าอินพุต

  • โครงสร้างของฟังก์ชันแบบแบ่งช่วง (Piecewise Function):
    • เป็นฟังก์ชันที่มีสูตรคำนวณแตกต่างกันไปตามเงื่อนไขของช่วงอินพุต xx เช่น: f(x)={x+2,x<1x2,x≥1f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 1 \\ x^2, & x \ge 1 \end{cases}
  • การเลือกใช้สูตร:
    • ตรวจสอบค่า xx ก่อนว่าตกอยู่ในเงื่อนไขของบรรทัดใด แล้วจึงแทนค่าลงในสูตรของบรรทัดนั้น
    • ตัวอย่าง: ต้องการหา f(1)f(1) ต้องใช้กฎบรรทัดล่าง (x≥1x \ge 1) จึงได้ f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1
  • สัญลักษณ์จุดบนกราฟ:
    • จุดทึบ (●): แทนค่าที่รวมอยู่ในช่วงนั้น
    • จุดโปร่ง (○): แทนค่าที่ไม่รวมอยู่ในช่วงนั้น
ที่ x=1 ใช้สูตร y=x² จึงได้ f(1)=1; สังเกตว่าค่า 3 ไม่รวมอยู่ในเส้นตรงเพราะ x<1
กราฟฟังก์ชันแบ่งช่วงที่ x=1: เส้น y=x+2 สิ้นสุดด้วยวงกลมโปร่งที่ (1,3) ส่วน y=x² เริ่มด้วยจุดทึบที่ (1,1)
  • จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
    • จุดรอยต่อ x=1x=1: กราฟเส้นตรง y=x+2y = x + 2 มีจุดโปร่งที่ (1,3)(1, 3) ขณะที่พาราโบลา y=x2y = x^2 มีจุดทึบที่ (1,1)(1, 1) ยืนยันว่าค่าฟังก์ชันที่ x=1x = 1 คือ 11 ไม่ใช่ 33

2. โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันแบ่งช่วง

  • โดเมนรวม:
    • คือการยูเนียน (∪\cup) ของช่วงอินพุตทั้งหมดที่แต่ละกฎนิยามไว้
    • หากสูตรย่อยมีตัวส่วนหรือกรณฑ์ ต้องตัดจุดห้ามของสูตรนั้นออกจากช่วงของบรรทัดนั้นด้วย
  • เรนจ์รวม:
    • หาเรนจ์แยกตามแต่ละสูตรย่อยบนโดเมนของแต่ละช่วง แล้วนำเรนจ์ที่ได้ทั้งหมดยูเนียนเข้าด้วยกัน
    • กราฟของฟังก์ชันแบ่งช่วงสามารถขาดตอนหรือกระโดดได้ แต่ยังคงมีสมบัติความเป็นฟังก์ชันอย่างสมบูรณ์

3. การแก้สมการและคัดกรองคำตอบ

  • เมื่อต้องการแก้สมการ f(x)=cf(x) = c:
    1. ตั้งสมการหาค่า xx แยกทีละสูตรของแต่ละบรรทัด
    2. นำคำตอบที่ได้มาตรวจสอบกับเงื่อนไขช่วงของบรรทัดนั้นอย่างเข้มงวด
    3. คัดทิ้งคำตอบที่อยู่นอกช่วงเงื่อนไข (คำตอบเกิน)
    4. แทนค่าคำตอบที่ผ่านเกณฑ์กลับในฟังก์ชันเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

โจทย์ให้ค่า x เฉพาะจุด โดยเฉพาะตรงจุดแบ่ง

สังเกตจากโจทย์: เห็นกรณี เช่น x<cx<c และ x≥cx\ge c

เลือกวิธีคิด: เช็กเครื่องหมายปลายช่วงก่อนเลือกสูตร แล้วแทนค่าในบรรทัดเดียวที่ครอบคลุม x

โจทย์ถามจำนวนคำตอบหรือเซตคำตอบของ f(x)=cf(x)=c

สังเกตจากโจทย์: มีหลายสูตรและแต่ละสูตรให้สมการย่อย

เลือกวิธีคิด: แก้ทีละบรรทัด จากนั้นคัดคำตอบด้วยช่วงที่กำกับและตรวจแทนกลับ

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · คำนวณที่จุดแบ่งและอ่าน range

กำหนด f(x)={x+2,x<1x2,x≥1f(x)=\begin{cases}x+2,&x<1\\x^2,&x\ge1\end{cases}. หา f(0), f(1) และ range

  1. x=0 เข้าเงื่อนไข x<1 จึงใช้ x+2 ได้ f(0)=2
  2. x=1 ไม่เข้าแถวแรก แต่เข้า x≥1 จึงใช้ x² ได้ f(1)=1
  3. แถวแรกให้ y=x+2 เมื่อ x<1 จึงได้ y<3; แถวสองให้ y=x² เมื่อ x≥1 จึงได้ y≥1; union (−∞,3)∪[1,∞)=R(-\infty,3)\cup[1,\infty)=\mathbb R

คำตอบ: f(0)=2, f(1)=1 และ range เป็น R\mathbb R

ตรวจเหตุผล: ค่า 3 ไม่เกิดจากแถวแรกเพราะต้อง x=1 ซึ่งไม่รวม แต่เกิดจากแถวสองเมื่อ x=3x=\sqrt{3}; ทุก y ต่ำกว่า 3 ได้จากแถวแรก และ y≥1 ได้จากแถวสอง

ตัวอย่าง 2 · คัดรากตามช่วงของแต่ละสูตร

ใช้ f ตามนิยามข้อก่อน จงแก้ f(x)=2f(x)=2

  1. แถวแรก: x+2=2 ให้ x=0 ซึ่งเข้าเงื่อนไข x<1 จึงรับ
  2. แถวสอง: x²=2 ให้ x=±√2 แต่ต้องมี x≥1 จึงรับเฉพาะ x=√2
  3. รวมคำตอบจากสองช่วง ไม่ตัด x=0 ที่ได้จากคนละสูตร

คำตอบ: x=0x=0 หรือ x=2x=\sqrt2

ตรวจเหตุผล: แทนกลับ: f(0)=2 จากแถวแรก และ f(√2)=(√2)²=2 จากแถวที่สอง; -√2 อยู่นอกเงื่อนไขแถวสอง