ฟังก์ชันประกอบ

composite function คือการนำผลลัพธ์จากฟังก์ชันหนึ่งไปใส่อีกฟังก์ชัน; ลำดับกำหนดสูตร และต้องตรวจ domain (ค่า x ที่ฟังก์ชันนิยาม) ทั้งสองชั้น

แทนค่าในฟังก์ชันได้ และแก้อสมการเบื้องต้นเพื่อหาค่าที่ทำให้ฟังก์ชันชั้นนอกนิยาม

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. คำนวณจากชั้นในออกชั้นนอก

  • นิยามฟังก์ชันประกอบ (Composite Function):
    • (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))
    • กระบวนการ: นำค่า xx เข้าสู่ฟังก์ชันด้านใน gg ก่อน ได้ผลลัพธ์ u=g(x)u = g(x) แล้วจึงส่งต่อไปเป็นอินพุตของฟังก์ชันด้านนอก ff เพื่อได้ y=f(u)y = f(u)
  • สมบัติการสลับที่:
    • โดยทั่วไป (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x) (สลับลำดับไม่ได้)
    • ตัวอย่าง: ถ้า f(t)=t2+1f(t) = t^2 + 1 และ g(x)=2xg(x) = 2x
      • (f∘g)(x)=f(2x)=(2x)2+1=4x2+1(f \circ g)(x) = f(2x) = (2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1
      • (g∘f)(x)=g(x2+1)=2(x2+1)=2x2+2(g \circ f)(x) = g(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2 ซึ่งไม่เท่ากัน
แผนภาพ (f∘g)(x)=f(g(x)) เรียง x→g→u=g(x)→f→y=f(u) และแสดงเงื่อนไข x∈D_g กับ g(x)∈D_f ที่ต้องผ่านทั้งคู่
ลำดับฟังก์ชันประกอบเริ่มจาก x ผ่าน g ได้ u แล้วผ่าน f เป็น y; เงื่อนไขโดเมนทั้งสองต้องจริงพร้อมกัน
  • จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
    • ลำดับลูกโซ่สองชั้น: แสดงการส่งผ่าน x→g→u=g(x)→f→y=f(u)x \to g \to u = g(x) \to f \to y = f(u) ชี้ชัดเจนว่า xx ต้องอยู่ในโดเมนของ gg และผลลัพธ์ g(x)g(x) ต้องตกลงในโดเมนของ ff

2. โดเมนของฟังก์ชันประกอบ

  • เงื่อนไขบังคับสองชั้น:
    • โดเมนของ f∘gf \circ g คือ: Df∘g={x∈Dg∣g(x)∈Df}D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}
    • ขั้นที่ 1: xx ต้องอยู่ในโดเมนของ gg เพื่อให้คำนวณ g(x)g(x) ได้
    • ขั้นที่ 2: ค่า g(x)g(x) ที่ได้ต้องอยู่ในโดเมนของ ff เพื่อให้คำนวณ f(g(x))f(g(x)) ต่อได้
  • ข้อควรระวังสำคัญ:
    • ห้ามหาโดเมนจากรูปสูตรพีชคณิตสำเร็จรูปโดยไม่ได้ตรวจเงื่อนไขเดิม
    • เช่น หาก f(u)=u2f(u) = u^2 และ g(x)=xg(x) = \sqrt{x} สูตรคือ (f∘g)(x)=(x)2=x(f \circ g)(x) = (\sqrt{x})^2 = x แต่โดเมนจริงต้องจำกัดเฉพาะ x≥0x \ge 0 ตามฟังก์ชันด้านใน g(x)g(x) เท่านั้น

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

โจทย์ให้ชื่อฟังก์ชันสองตัวแล้วถามค่าประกอบ

สังเกตจากโจทย์: สัญลักษณ์ (f∘g)(a)(f\circ g)(a) หรือสมการ f(g(x))f(g(x))

เลือกวิธีคิด: คำนวณ g ก่อน จากนั้นแทนผลลง f; ถาม domain ให้ตรวจทั้งสองชั้นด้วย

โจทย์ให้สูตรประกอบและถามค่าที่ห้ามใช้

สังเกตจากโจทย์: มีรากคู่หรือส่วนที่ขึ้นกับผลลัพธ์ชั้นใน

เลือกวิธีคิด: ตั้งเงื่อนไขของชั้นนอกบน g(x)g(x) แล้วแก้อสมการ/สมการห้าม พร้อมตัดกับ domain ชั้นใน

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · ประกอบรากกับพหุนาม

กำหนด f(t)=tf(t)=\sqrt{t} และ g(x)=x2−4g(x)=x^2-4. หา f∘gf\circ g พร้อม domain และคำนวณค่าที่ x=3

  1. แทน g(x) ลงในอินพุตของ f จึงได้ (f∘g)(x)=x2−4(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-4}
  2. g นิยามได้ทุก x แต่ค่าที่ส่งเข้า f ต้องไม่ติดลบ: x2−4≥0x^2-4\ge0
  3. แยกตัวประกอบ (x−2)(x+2)≥0(x-2)(x+2)\ge0 ได้ x≤−2x\le-2 หรือ x≥2x\ge2; ที่ x=3 ได้ 5\sqrt5

คำตอบ: (f∘g)(x)=x2−4(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-4}, domain (−∞,−2]∪[2,∞)(-\infty,-2]\cup[2,\infty) และ (f∘g)(3)=5(f\circ g)(3)=\sqrt5

ตรวจเหตุผล: แทน x=3 ผ่านชั้นในได้ 5 และ f(5)=5f(5)=\sqrt5; ที่ x=±2 รากเป็นศูนย์จึงรวมปลาย

ตัวอย่าง 2 · domain หลังประกอบเศษส่วน

ให้ f(t)=1/(t−1)f(t)=1/(t-1) และ g(x)=x2g(x)=x^2. หา (f∘g)(x)(f\circ g)(x) และ domain

  1. แทน t=x2t=x^2 ใน f ได้ 1/(x2−1)1/(x^2-1)
  2. ชั้นใน x² รับค่าจริงทุก x แต่ชั้นนอกห้ามอินพุตเท่ากับ 1
  3. แก้ x2≠1x^2\ne1 ได้ x≠−1x\ne-1 และ x≠1x\ne1

คำตอบ: (f∘g)(x)=1/(x2−1)(f\circ g)(x)=1/(x^2-1), domain R∖{−1,1}\mathbb R\setminus\{-1,1\}

ตรวจเหตุผล: แทน x=±1 จะได้ตัวส่วนศูนย์; ค่าอื่นไม่มีข้อห้ามจากฟังก์ชันทั้งสอง