หนึ่งต่อหนึ่ง

one-to-one function ไม่ให้ x ต่างกันมี y ซ้ำกัน คุณสมบัตินี้ทำให้ inverse function (ฟังก์ชันที่ย้อนการจับคู่เดิม) เป็นฟังก์ชันได้

อ่านกราฟและแทนค่าในฟังก์ชันได้ พร้อมเข้าใจว่า domain ที่เลือกอาจเปลี่ยนคุณสมบัติของกราฟ

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. นิยามฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

  • นิยามเชิงตรรกศาสตร์:
    • ฟังก์ชัน ff เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-One) บนโดเมน DD ก็ต่อเมื่อ: f(a)=f(b)  ⟹  a=b(∀a,b∈D)f(a) = f(b) \implies a = b \quad (\forall a, b \in D)
    • เทียบเท่ากับการกล่าวว่า: ค่า xx ที่ต่างกัน ย่อมให้ผลลัพธ์ yy ที่ต่างกันเสมอ (a≠b  ⟹  f(a)≠f(b)a \ne b \implies f(a) \ne f(b))
  • การหักล้าง (Counterexample):
    • พิสูจน์ว่าไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งได้ง่าย ๆ เพียงยกตัวอย่างคู่เดียวที่ x1≠x2x_1 \ne x_2 แต่ให้ f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) เช่น f(x)=x2f(x) = x^2 บน R\mathbb{R} ซึ่ง f(−2)=f(2)=4f(-2) = f(2) = 4 แต่ −2≠2-2 \ne 2

2. การทดสอบด้วยเส้นแนวนอน (Horizontal Line Test)

  • หลักการ Horizontal Line Test:
    • ลากเส้นตรงแนวนอน y=cy = c ขนานกับแกน xx ทุกระดับที่ผ่านกราฟ
    • เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง: เส้นแนวนอนทุกเส้นต้องตัดกราฟได้ไม่เกิน 11 จุด
    • ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง: หากมีเส้นแนวนอนแม้เพียงเส้นเดียวที่ตัดกราฟตั้งแต่ 22 จุดขึ้นไป
  • ข้อพึงระวัง:
    • อย่าสับสนกับ Vertical Line Test (ลากเส้นแนวตั้งเพื่อตรวจว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่)
    • ต้องตรวจทุกระดับความสูงที่กราฟมีอยู่
ภาพสองกราฟทดสอบเส้นแนวนอน: y=1 ตัด f(x)=x² ที่ (−1,1) และ (1,1) สองจุด; y=0.5 ตัด g(x)=x³ หนึ่งจุดประมาณ (0.79,0.5)
เส้น y=1 ตัดกราฟ x² สองจุด ส่วน y=0.5 ตัดกราฟ x³ หนึ่งจุด; เส้นแนวนอนที่ตัดสองจุดขึ้นไปชี้ว่าไม่เป็น one-to-one
  • จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
    • การเปรียบเทียบสองกราฟ: แผงซ้ายแสดงกราฟ f(x)=x2f(x) = x^2 ถูกเส้น y=1y = 1 ตัด 22 จุด (ไม่เป็น 1-to-1) ส่วนแผงขวาแสดง g(x)=x3g(x) = x^3 ถูกเส้น y=0.5y = 0.5 ตัดเพียงจุดเดียว (เป็น 1-to-1)

3. การจำกัดโดเมนเพื่อให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

  • ฟังก์ชันที่ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนเต็ม สามารถทำให้เป็นหนึ่งต่อหนึ่งได้โดยการตัดโดเมนให้เหลือเฉพาะช่วงที่กราฟเป็นฟังก์ชันเพิ่มทางเดียว (Strictly Increasing) หรือฟังก์ชันลดทางเดียว (Strictly Decreasing)
  • เช่น f(x)=x2f(x) = x^2 บนช่วง [0,∞)[0, \infty) เป็นฟังก์ชันเพิ่มทางเดียว จึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนช่วงนี้

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

โจทย์ถามว่า inverse เป็นฟังก์ชันหรือไม่

สังเกตจากโจทย์: มีสมการซึ่งอาจให้ x สองค่า หรือกราฟโค้งกลับทิศ

เลือกวิธีคิด: ตรวจ one-to-one function บน domain จริงด้วย f(a)=f(b)f(a)=f(b) หรือ horizontal line test; ถ้าไม่ผ่านให้พิจารณาข้อจำกัด domain ที่โจทย์อนุญาต

โจทย์ให้กราฟและถามการจับคู่ซ้ำ

สังเกตจากโจทย์: กราฟมีช่วงเพิ่มและลดหรือรูปพาราโบลา

เลือกวิธีคิด: ลองเส้นระดับ y คงที่และนับจุดตัด ไม่ใช้เส้นตั้งแทน

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · แยก one-to-one ด้วย domain

พิจารณา f(x)=x2−4f(x)=x^2-4 กรณี domain เป็น [−3,∞)[-3,\infty) และ [0,∞)[0,\infty). กรณีใดเป็น one-to-one?

  1. บน [−3,∞)[-3,\infty) เลือก x=-2 และ x=2 ได้ค่า f เท่ากันคือ 0 แต่ x ต่างกัน
  2. บน [0,∞)[0,\infty) ถ้า a2−4=b2−4a^2-4=b^2-4 จะได้ a2=b2a^2=b^2 และเพราะ a,b ไม่ลบ จึงได้ a=b
  3. ดังนั้นเปลี่ยน domain แล้วสถานะ one-to-one เปลี่ยนได้

คำตอบ: ไม่เป็น one-to-one บน [−3,∞)[-3,\infty) แต่เป็น one-to-one บน [0,∞)[0,\infty)

ตรวจเหตุผล: ทดสอบเส้น y=0: domain แรกมีจุด x=-2 และ 2; domain ที่สองเหลือ x=2 จุดเดียว

ตัวอย่าง 2 · พิสูจน์ one-to-one ด้วยสมการ

พิสูจน์ว่า h(x)=x3+1h(x)=x^3+1 เป็น one-to-one บนจำนวนจริง

  1. สมมติ h(a)=h(b)h(a)=h(b) จะได้ a3+1=b3+1a^3+1=b^3+1
  2. ตัด 1 แล้วใช้ a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=0a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=0
  3. สำหรับจำนวนจริง พจน์กำลังสองรวมเป็นศูนย์ได้เมื่อ a=b=0; หรือใช้ว่า x3x^3 เพิ่มทางเดียว จึงได้ a=b

คำตอบ: h เป็น one-to-one function บน R\mathbb R

ตรวจเหตุผล: กราฟลูกบาศก์เพิ่มตลอด; ทุกเส้นแนวนอนตัดกราฟครั้งเดียว