โดเมนและเรนจ์

domain คือเซตของค่า x ที่ฟังก์ชันนิยามและโจทย์อนุญาต; range คือเซตของค่า y ที่เกิดจริงจาก domain นั้น การแยกสองเซตนี้ช่วยกันตัดค่าต้องห้ามและคำตอบที่ไม่เกิด

รู้จักช่วงบนเส้นจำนวน แทนค่าในนิพจน์ และเงื่อนไขของรากคู่กับตัวส่วน

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. ฟังก์ชันและชุดของค่าที่เกี่ยวข้อง

  • นิยามของฟังก์ชัน:
    • ฟังก์ชันเป็นการจับคู่ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมน (Domain) ส่งไปยังผลลัพธ์ในโคโดเมน (Codomain) ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
    • เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f:D→Cf: D \to C โดยที่:
      • DD คือ โดเมน (Domain): เซตของอินพุตทั้งหมดที่ฟังก์ชันนิยามได้
      • CC คือ โคโดเมน (Codomain): เซตเป้าหมายปลายทางที่กำหนดไว้
      • RfR_f คือ เรนจ์ (Range): เซตของค่าเอาต์พุตที่เกิดขึ้นจริงทั้งหมด Rf={f(x)∣x∈D}⊂CR_f = \{f(x) \mid x \in D\} \subset C
  • เกณฑ์การจับคู่:
    • สมาชิกในโดเมนหนึ่งตัวห้ามส่งผลลัพธ์ออกเป็นหลายค่า
    • แต่สมาชิกหลายตัวในโดเมนสามารถส่งไปที่ผลลัพธ์ค่าเดียวกันได้ เช่น f(−2)=4f(-2) = 4 และ f(2)=4f(2) = 4
แผนภาพ domain {−2,0,2} ส่งลูกศร −2→4, 0→0 และ 2→4 ไปยัง codomain {0,1,4,9}; เน้นค่า 0 กับ 4 ซึ่งเป็น range
แผนภาพ f(x)=x² จับคู่ −2 และ 2 กับ 4 และจับคู่ 0 กับ 0 จึงมี range เป็น {0,4}
  • จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
    • การจับคู่สามเซต: แสดงโดเมน {−2,0,2}\{-2, 0, 2\} ส่งลูกศรไปยังโคโดเมน {0,1,4,9}\{0, 1, 4, 9\} โดยมีเรนจ์จริงคือ {0,4}\{0, 4\} ซึ่งเป็นสับเซตแท้ของโคโดเมน

2. การหาโดเมนและเรนจ์

  • การหาโดเมน (Domain):
    • เริ่มต้นจากจำนวนจริง R\mathbb{R} แล้วตัดค่า xx ที่ทำให้การคำนวณไม่นิยาม:
      • ตัวส่วนของเศษส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ (Q(x)≠0Q(x) \ne 0)
      • นิพจน์ใต้กรณฑ์อันดับคู่ต้องไม่ติดลบ (≥0\ge 0)
  • การหาเรนจ์ (Range):
    • จัดรูปเพื่อเขียน xx ในเทอมของ yy แล้วพิจารณาค่า yy ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
    • หรือวิเคราะห์ขอบเขตค่าต่ำสุด-สูงสุดจากคุณสมบัติของฟังก์ชัน (เช่น กำลังสองสัมบูรณ์ ≥0\ge 0 หรือค่าสัมบูรณ์ ≥0\ge 0)
    • อย่าสรุปเรนจ์จากการดูค่าของ yy เพียงบางจุด

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

โจทย์ถามค่า x ที่ทำให้ราก/เศษส่วนมีความหมาย

สังเกตจากโจทย์: พบรากคู่ ตัวส่วน หรือ domain ที่ระบุเป็นช่วง

เลือกวิธีคิด: เขียนอสมการ/จุดห้ามทีละข้อ แล้วตัดกับช่วงที่โจทย์ให้ก่อนรายงาน domain

โจทย์ถามผลลัพธ์ทั้งหมดหรืออ่านจากกราฟ

สังเกตจากโจทย์: ถาม range ค่าต่ำสุด-สูงสุด หรือให้เส้นโค้งพร้อมจุดปลาย

เลือกวิธีคิด: หาค่า y ที่เกิดจริงจากกราฟหรือจาก domain ที่จำกัด ตรวจปลายรวม/ไม่รวม และแยก range ออกจาก codomain

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · ตัด domain กับเงื่อนไขราก แล้วหา range

กำหนด f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} แต่ให้ใช้เฉพาะ −3≤x≤7-3\le x\le7 จงหา domain และ range

  1. สูตรรากคู่ต้องมี x+2≥0x+2\ge0 จึงได้ x≥−2x\ge-2
  2. ตัดกับช่วงโจทย์ [−3,7][-3,7] ได้ domain [−2,7][-2,7]
  3. ฟังก์ชันรากเพิ่มตามค่าข้างใน ดังนั้นค่าต่ำสุดเกิดที่ -2 และค่าสูงสุดเกิดที่ 7

คำตอบ: domain [−2,7][-2,7] และ range [0,3][0,3]

ตรวจเหตุผล: แทนปลาย domain: f(−2)=0f(-2)=0 และ f(7)=3f(7)=3; ทุกค่าในช่วงระหว่างนี้เกิดได้

ตัวอย่าง 2 · ใช้ domain จำกัดหาค่าต่ำสุดและสูงสุด

ให้ g(x)=x2−4g(x)=x^2-4 เมื่อ −1≤x≤3-1\le x\le3 จงหา range

  1. พาราโบลาเปิดขึ้นและจุดยอด x=0 อยู่ใน domain จึงให้ค่าต่ำสุด g(0)=−4g(0)=-4
  2. ตรวจปลาย domain: g(−1)=−3g(-1)=-3, g(3)=5g(3)=5; ค่าสูงสุดจึงเป็น 5
  3. ค่าระหว่างค่าต่ำสุดและสูงสุดเกิดได้เพราะกราฟต่อเนื่องบนช่วงนี้

คำตอบ: range [−4,5][-4,5]

ตรวจเหตุผล: แทนค่าที่ได้กลับในสูตร: x2−4=−4x^2-4=-4 ให้ x=0 และ x2−4=5x^2-4=5 ให้ x=±3; ใน domain มีเพียง x=3 จึงได้ปลายบน 5