จำนวนสมาชิก

จำนวนสมาชิก $n(A)$ คือจำนวนวัตถุที่แตกต่างกันในเซต ไม่ใช่จำนวนครั้งที่เขียนชื่อสมาชิก การหาจำนวนยูเนียนต้องลบส่วนที่ถูกนับซ้ำ

พื้นฐานที่ใช้: การดำเนินการยูเนียน/อินเตอร์เซกชันและการแบ่งบริเวณในแผนภาพเวนน์

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. นับสมาชิกที่แตกต่างกัน

• หลักการนับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดและการตรวจสอบความครบถ้วน:

• นิยามจำนวนสมาชิก ($n(A)$):
  • นับเฉพาะตัวต่าง: สัญลักษณ์ $n(A)$ ใช้แทนจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด โดยนับเฉพาะสมาชิกที่แตกต่างกันเท่านั้น เช่น $A=\{a,b,b,c\}$ มีสมาชิกจริง 3 ตัวคือ $a, b, c$ จึงได้ $n(A)=3$ ไม่ใช่ 4
  • เซตว่าง: เซตว่างไม่มีสมาชิกใด ๆ จึงได้ $n(\varnothing)=0$
• การตรวจสอบความสอดคล้องกับเอกภพ:
  • เมื่อแบ่งเอกภพออกเป็นบริเวณย่อย ๆ ที่ไม่ซ้อนทับกัน ผลรวมของทุกบริเวณต้องเท่ากับ $n(U)$ เสมอ
  • การตรวจผลรวมช่วยให้ตรวจพบข้อผิดพลาดจากการนับซ้ำ หรือการลืมกลุ่มที่ไม่อยู่ในเซตใดเลย

2. สูตรยูเนียนหักส่วนร่วมหนึ่งครั้ง

• หลักการรวมเข้าและตัดออกสำหรับสองเซต:

• สูตรยูเนียนสองเซต:
  • สูตร: $n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$
  • เหตุผล: การนำ $n(A) + n(B)$ จะทำให้สมาชิกในส่วนร่วม ($A\cap B$) ถูกบวกซ้ำไป 2 ครั้ง จึงต้องหัก $n(A\cap B)$ ออก 1 ครั้งเพื่อให้ถูกนับเพียงครั้งเดียว
• สูตรส่วนเติมเต็ม:
  • สำหรับเอกภพจำกัด จำนวนสมาชิกที่ไม่อยู่ใน $A$ คือ $n(A^c) = n(U) - n(A)$
  • ข้อควรระวัง: ต้องอ้างอิงเอกภพสัมพัทธ์ $U$ ชุดเดียวกับที่โจทย์กำหนดเสมอ

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • ภาพรวม: แผนภาพวงกลม $A$ และ $B$ ซ้อนทับกัน โดยชี้ให้เห็นส่วนร่วม $A\cap B$ ที่ถูกนับซ้ำ
  • สูตรคำนวณ: แผงล่างเน้นสูตร $n(A\cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$ เพื่อหักส่วนที่นับซ้ำออก

3. สามเซตหักคู่แล้วบวกส่วนกลางคืน

• หลักการรวมเข้าและตัดออกสำหรับสามเซต (Inclusion-Exclusion Principle):

• สูตรยูเนียนสามเซต:
  • สูตร: $n(A\cup B\cup C) = n(A)+n(B)+n(C) - [n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)] + n(A\cap B\cap C)$
  • เหตุผลของสูตร:
    1. นำขนาดทั้งสามเซตบวกกัน ($n(A)+n(B)+n(C)$) สมาชิกที่ซ้ำถูกนับเกิน
    2. ลบส่วนอินเตอร์เซกชันคู่ทั้งสามคู่ออก เพื่อตัดการนับซ้ำ
    3. ส่วนกลาง ($A\cap B\cap C$) ซึ่งถูกบวก 3 ครั้งและถูกลบออกไป 3 ครั้ง จะเหลือ 0 ครั้ง จึงต้องบวกส่วนกลางกลับเข้ามา 1 ครั้ง
• ข้อควรระวังในการใช้สูตร:
  • ต้องแยกแยะระหว่าง “อินเตอร์เซกชันคู่” (ซึ่งมีส่วนกลางรวมอยู่ด้วย) กับ “คู่เท่านั้น (pair-only)”
  • หากโจทย์ระบุข้อมูลแบบ pair-only ต้องแปลงให้เป็นอินเตอร์เซกชันคู่ก่อนแทนในสูตร

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด