แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์ทำให้เห็นว่าสมาชิกอยู่ในส่วนใดของเอกภพและของแต่ละเซต เมื่อโจทย์ให้จำนวน ให้ใส่ส่วนร่วมก่อนเพื่อไม่ให้นับคนหรือสิ่งของซ้ำ

พื้นฐานที่ใช้: เอกภพสัมพัทธ์ $U$, วงกลมแทนเซต และการดำเนินการยูเนียน/อินเตอร์เซกชัน

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. สี่บริเวณของแผนภาพสองเซต

• แผนภาพเวนน์สองเซตแบ่งพื้นที่ภายในเอกภพสัมพัทธ์ออกเป็น 4 บริเวณที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน:

• โครงสร้างของ 4 บริเวณ:
  • ส่วนร่วม ($A\cap B$): บริเวณที่วงกลม $A$ และ $B$ ซ้อนทับกันตรงกลาง (อยู่ในทั้งสองเซต)
  • $A$ เท่านั้น ($A\setminus B$): ส่วนที่อยู่ในวง $A$ แต่ไม่อยู่ในวง $B$
  • $B$ เท่านั้น ($B\setminus A$): ส่วนที่อยู่ในวง $B$ แต่ไม่อยู่ในวง $A$
  • นอกทั้งสองวง ($(A\cup B)^c$): ส่วนที่อยู่ในเอกภพ $U$ แต่อยู่นอกวงกลมทั้งสอง
• หลักการจำแนก: ให้ถามแต่ละบริเวณว่า “อยู่ใน $A$ หรือไม่ และอยู่ใน $B$ หรือไม่” เพื่อระบุจำนวนได้อย่างถูกต้องโดยไม่สับสน

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • โครงสร้างแผนภาพ: กรอบสี่เหลี่ยมแทนเอกภพ $U$ มีวงกลม $A$ และ $B$ ซ้อนทับกัน
  • ตำแหน่งบริเวณ: ซ้ายสุดคือ $A$ เท่านั้น, ตรงกลางคือ $A\cap B$, ขวาสุดคือ $B$ เท่านั้น, และบริเวณรอบนอกคือส่วนที่อยู่นอกทั้งสองวง
  • ลำดับการลงข้อมูล: เริ่มเติมตัวเลขจากส่วนร่วมตรงกลางก่อน แล้วจึงกระจายออกไปหา $A$ เท่านั้นและ $B$ เท่านั้น โดยคำว่า “อย่างน้อยหนึ่ง” จะครอบคลุมทั้ง 3 บริเวณในวงกลม

2. เติมส่วนร่วมก่อนเมื่อทราบจำนวนทั้งเซต

• กลยุทธ์การใส่ตัวเลขลงในแผนภาพเวนน์สองเซตเพื่อป้องกันการนับซ้ำ:

• ลำดับขั้นตอนการคำนวณ:
  • เริ่มจากส่วนร่วม: หากโจทย์ระบุ $n(A), n(B)$ และ $n(A\cap B)$ ให้เขียนจำนวนตรงส่วนร่วม $n(A\cap B)$ ลงไปก่อนเสมอ
  • หาขนาดเซตเดี่ยว: คำนวณ $A$ เท่านั้นด้วย $n(A) - n(A\cap B)$ และคำนวณ $B$ เท่านั้นด้วย $n(B) - n(A\cap B)$
• การตรวจสอบผลรวมกับเอกภพ:
  • พื้นที่ทั้ง 4 บริเวณรวมกันต้องเท่ากับ $n(U)$ พอดี
  • หากยอดรวมขาดหรือเกิน ให้ตรวจว่าได้หักส่วนร่วมออกแล้วหรือไม่ และมีผู้ที่ไม่เข้ากลุ่มใดเลยอยู่นอกวงหรือไม่

3. แผนภาพสามเซตมีแปดบริเวณ

• แผนภาพเวนน์สามเซต ($A, B, C$) แบ่งพื้นที่ออกเป็น 8 บริเวณซ้อนกัน:

• การจัดลำดับการเติมตัวเลข:
  • เริ่มจากจุดศูนย์กลาง: เติมส่วนที่อยู่ร่วมกันทั้งสามเซต ($A\cap B\cap C$) ก่อนเป็นลำดับแรก
  • กระจายสู่คู่สองเซต: แยกบริเวณที่อยู่ในสองเซตเท่านั้นออกจากอินเตอร์เซกชันคู่ (ซึ่งเดิมมีส่วนกลางรวมอยู่ด้วย)
  • เติมส่วนเดี่ยว: คำนวณส่วนที่อยู่ในเซตเดี่ยวเท่านั้น
• ข้อสังเกตเชิงขอบเขต: การจัดแผนภาพสามเซตมีความซับซ้อนหลายขั้น จัดเป็นเนื้อหาหลักของคณิต 1 (Math 1) จึงไม่จำเป็นต้องขยายทุกโจทย์ของคณิต 2 ให้เป็นแผนภาพสามวงหากโจทย์ไม่ได้กำหนด

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด