เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซตคือเซตที่รวบรวมสับเซตทั้งหมดของเซตตั้งต้น วิธีนับที่แม่นคือถามสมาชิกแต่ละตัวว่า “เลือก” หรือ “ไม่เลือก”

พื้นฐานที่ใช้: นิยามสับเซตและเซตว่าง; สับเซตย่อยหนึ่งชุดอาจมีสมาชิกเป็นเซตอื่น

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. สร้างเพาเวอร์เซตด้วยสับเซตทุกแบบ

เพาเวอร์เซตคือเซตที่รวบรวมสับเซตทั้งหมดของเซตตั้งต้น:

นิยามและสัญลักษณ์:
- สัญลักษณ์: เพาเวอร์เซตของ $A$ เขียนแทนด้วย $\mathcal P(A)$
- นิยาม: $\mathcal P(A)=\{X\mid X\subseteq A\}$ คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ $A$
- สมาชิกบังคับ: ใน $\mathcal P(A)$ ต้องมีทั้ง $\varnothing$ และ $A$ เองเสมอ เพราะทั้งคู่เป็นสับเซตของ $A$
การสร้างสับเซต:
- วิธีคิด: ถ้า $A=\{a,b\}$ สมาชิกแต่ละตัวมี 2 ทางเลือกคือ “อยู่ในสับเซต” หรือ “ไม่อยู่ในสับเซต” จึงได้สับเซต 4 ชุด คือ $\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}$
- ข้อสังเกต: สามารถสลับลำดับการเขียนสมาชิกในเพาเวอร์เซตได้ แต่ห้ามนับสับเซตซ้ำ

2. จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตเป็นกำลังของ 2

การคำนวณจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตและข้อควรระวังเรื่องเซตว่าง:

สูตรจำนวนสมาชิก ( $2^n$ ):
- สูตรคำนวณ: เมื่อ $A$ เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิกแตกต่างกัน $n$ ตัว จำนวนสับเซตทั้งหมดคือ $n(\mathcal P(A))=2^n$
- เหตุผล: สมาชิกแต่ละตัวมี 2 ทางเลือกอย่างเป็นอิสระต่อกัน (เลือกเข้าหรือไม่อยู่) จึงได้ผลลัพธ์รวม $2\times 2\times\dots\times 2 = 2^n$
- เงื่อนไข: สูตรนี้ใช้กับเซตจำกัดและต้องนับเฉพาะสมาชิกที่ไม่ซ้ำกัน
ข้อควรระวัง: ความแตกต่างระหว่าง $\varnothing$ กับ $\{\varnothing\}$ :
- เซตว่าง ( $\varnothing$ ): ไม่มีสมาชิกใดเลย ( $n(\varnothing)=0$ )
- เซตของเซตว่าง ( $\{\varnothing\}$ ): มีสมาชิก 1 ตัว คือตัวเซตว่าง ( $n(\{\varnothing\})=1$ )
- เพาเวอร์เซตของเซตว่าง: $\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$ ซึ่งมีสมาชิก 1 ชุด ตรงกับสูตร $2^0=1$

ต้นไม้เริ่มจาก A={p,q}; เลือกหรือไม่เลือก p แล้วเลือกหรือไม่เลือก q ได้ใบ {p,q}, {p}, {q}, ∅ ทั้งสี่ชุด ควรตรวจผลลัพธ์จากทางเลือกบนแต่ละกิ่ง — ต้นไม้ของ A={p,q} แยกการเลือก p และ q เป็นสองทางต่อสมาชิก จึงได้ผลลัพธ์ครบสี่สับเซต; ควรสังเกตกิ่งที่ไม่เลือกทั้งคู่ซึ่งจบที่ ∅

จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
- ภาพรวมแผนภาพต้นไม้: เริ่มจากเซต $A=\{p,q\}$ แต่ละเส้นทางแยกตามการเลือกว่าจะนำสมาชิกเข้าสับเซตหรือไม่
- ขั้นตอนและผลลัพธ์: เลือกว่าจะนำ $p$ เข้าหรือไม่ แล้วตามด้วยเลือกว่าจะนำ $q$ เข้าหรือไม่ แต่ละเส้นทางจะแทนสับเซต 1 ชุด นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ปลายกิ่งครบทั้ง 4 ชุด คือ $\{p, q\}, \{p\}, \{q\}, \varnothing$

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

แจกแจงทุกกลุ่มย่อยที่เลือกจากสิ่งของ

สังเกตจากโจทย์: โจทย์ถามเซตของสับเซตทั้งหมด จำนวนวิธีเลือกโดยไม่สนลำดับ หรือจำนวนสมาชิกในเพาเวอร์เซต

เลือกวิธีคิด: ระบุสมาชิกต้นทางให้ครบ แล้วให้แต่ละตัวเลือกอยู่/ไม่อยู่; ตรวจจำนวนผลลัพธ์กับ $2^n$

เปรียบเทียบเซตว่างกับเซตที่มีเซตว่าง

สังเกตจากโจทย์: โจทย์มี $\varnothing$ , $\{\varnothing\}$ หรือเพาเวอร์เซตของเซตว่าง

เลือกวิธีคิด: นับวงเล็บชั้นนอก: ถ้ามีวงเล็บปีกกาครอบ $\varnothing$ นั่นคือมีสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด

ตัวอย่าง 1 · แจกแจงเพาเวอร์เซตของสองสมาชิก

กำหนด $A=\{p,q\}$ . จงเขียน $\mathcal P(A)$ และหาจำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

สมาชิกต้นทางมี p และ q; แต่ละตัวเลือกอยู่หรือไม่อยู่ในสับเซตหนึ่งชุด
แยกตามจำนวนสมาชิกที่เลือก: ไม่เลือกเลย, เลือก p, เลือก q, เลือกทั้งคู่
จึงมีสับเซต 4 ชุด ซึ่งตรงกับ $2^2$

คำตอบ: $\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{p\},\{q\},\{p,q\}\}$ และ $n(\mathcal P(A))=4$

ตรวจเหตุผล: ทุกชุดที่เขียนเป็นสับเซตของ A และมีครบ 4 แบบ; ถ้าขาด $\varnothing$ หรือ A เอง จำนวนจะเหลือไม่ครบ

ตัวอย่าง 2 · เพาเวอร์เซตของเซตว่าง

หา $\mathcal P(\varnothing)$ และจำนวนสมาชิกของเซตคำตอบ

สับเซตของ $\varnothing$ ต้องไม่มีสมาชิกอื่นนอกจากที่มีอยู่ในเซตว่าง
เซตว่างเองเป็นสับเซตของทุกเซต จึงเป็นสับเซตเพียงชุดเดียว
เพาเวอร์เซตจึงเป็นเซตที่มีสมาชิกหนึ่งตัว คือ $\varnothing$

คำตอบ: $\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$ มีสมาชิก 1 ตัว

ตรวจเหตุผล: $n(\varnothing)=0$ แต่ $n(\{\varnothing\})=1$ ; สูตร $2^n$ ให้ $2^0=1$ พอดี