การดำเนินการเซต

ยูเนียนรวมสมาชิกที่อยู่ในอย่างน้อยหนึ่งเซต อินเตอร์เซกชันเก็บเฉพาะส่วนร่วม ส่วนเติมเต็มและผลต่างต้องอ้างเอกภพสัมพัทธ์และระบุทิศทางให้ชัด

พื้นฐานที่ใช้: สมาชิก สับเซต และเอกภพสัมพัทธ์ $U$ ซึ่งเป็นขอบเขตของสมาชิกที่กำลังพิจารณา

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. ยูเนียนใช้คำว่า “อย่างน้อยหนึ่ง” อินเตอร์เซกชันใช้ “ทั้งสอง”

• การดำเนินการยูเนียนและอินเตอร์เซกชันมีความหมายและเงื่อนไขทางตรรกศาสตร์ที่ต้องแยกให้ชัดเจน:

• ยูเนียน ($A\cup B$):
  • ความหมาย: เก็บสมาชิกที่อยู่ใน $A$ หรือ $B$ หรือทั้งสองเซต (คำว่า “หรือ” เป็นแบบรวมกรณีอยู่ทั้งคู่)
  • การตรวจสมาชิก: $x\in A\cup B \iff x\in A$ หรือ $x\in B$
• อินเตอร์เซกชัน ($A\cap B$):
  • ความหมาย: เก็บเฉพาะสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเซตพร้อมกัน
  • การตรวจสมาชิก: $x\in A\cap B \iff x\in A$ และ $x\in B$
  • ข้อสังเกต: ให้แยกสัญญาณคำว่า “หรือ” กับ “และ” ให้รอบคอบก่อนคำนวณ

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • ยูเนียน ($A\cup B$): แรเงาพื้นที่ทั้งสองวง
  • อินเตอร์เซกชัน ($A\cap B$): แรเงาเฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับกันตรงกลาง
  • ผลต่าง ($A\setminus B$): แรเงาส่วนของ $A$ ที่ไม่ทับกับ $B$ โดยระบุชัดเจนว่าโดยทั่วไป $A\setminus B \ne B\setminus A$

2. ผลต่างมีทิศทาง ส่วนเติมเต็มขึ้นกับเอกภพ

• ผลต่างและส่วนเติมเต็มมีเงื่อนไขเรื่องทิศทางและเอกภพสัมพัทธ์ที่ต้องระวัง:

• ผลต่าง ($A\setminus B$):
  • นิยาม: คือสมาชิกที่อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$
  • ข้อควรระวังเรื่องทิศทาง: การลบเซตไม่สามารถสลับที่ได้ โดยทั่วไป $A\setminus B \ne B\setminus A$
• ส่วนเติมเต็ม ($A^c$):
  • นิยาม: $A^c = U\setminus A$ คือสมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์ $U$ ที่ไม่อยู่ใน $A$
  • ความขึ้นกับเอกภพ: ถ้าเปลี่ยน $U$ ส่วนเติมเต็มจะเปลี่ยนทันทีแม้ $A$ จะเป็นเซตเดิม เช่น กำหนด $A=\{1,2\}$ หาก $U=\{1,2,3\}$ จะได้ $A^c=\{3\}$ แต่หาก $U=\{1,2,3,4\}$ จะได้ $A^c=\{3,4\}$

3. เปลี่ยนนิพจน์ด้วยสมบัติได้เมื่อเอกภพเดียวกัน

• การจัดรูปการดำเนินการเซตด้วยสมบัติพื้นฐานและกฎของเดอมอร์แกน:

• สมบัติการสลับที่:
  • ยูเนียนและอินเตอร์เซกชันสลับที่ได้: $A\cup B = B\cup A$ และ $A\cap B = B\cap A$
  • ผลต่างไม่มีสมบัติการสลับที่
• กฎของเดอมอร์แกน (De Morgan's Laws):
  • สูตร: $(A\cup B)^c = A^c\cap B^c$ และ $(A\cap B)^c = A^c\cup B^c$ (ต้องอ้างอิงภายใต้เอกภพ $U$ เดียวกัน)
  • เหตุผลจากสมาชิก: “ไม่อยู่ใน $A$ หรือ $B$” หมายถึง “ไม่อยู่ใน $A$ และไม่อยู่ใน $B$” จึงเป็นส่วนร่วมของส่วนเติมเต็ม
  • ข้อควรระวัง: เมื่อกระจายเครื่องหมายส่วนเติมเต็ม ($c$) เข้าไป ต้องสลับเครื่องหมายระหว่าง $\cup$ กับ $\cap$ เสมอ

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด