โมเมนต์และสมดุลหมุน

- แรงเท่ากันอาจทำให้หมุนไม่เท่ากัน เพราะผลการหมุนขึ้นกับทั้งขนาดแรง ทิศแรง และระยะจากจุดหมุน โมเมนต์จึงช่วยเปรียบเทียบแนวโน้มหมุนโดยไม่ต้องเดาจากขนาดแรงอย่างเดียว

• ใช้เวกเตอร์แรงและระยะจากจุดหมุนได้; แยกตำแหน่งออกแรง r จากแนวแรง และระบุทวน/ตามเข็มก่อนตั้งสมการ

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. โมเมนต์คือผลการหมุนของแรงรอบจุดอ้างอิง

• นิยามและขนาดของโมเมนต์ของแรงหรือทอร์ก (Torque, $\tau$):

• สูตรคำนวณขนาดโมเมนต์: $$\tau = r F \sin\theta = F d_\perp$$
  • $r$: ระยะห่างวัดจากจุดหมุนไปยังตำแหน่งที่ออกแรง
  • $\theta$: มุมระหว่างเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\vec{r}$ กับเวกเตอร์แรง $\vec{F}$
  • $d_\perp = r\sin\theta$: ระยะทางตั้งฉากที่สั้นที่สุดจากจุดหมุนไปยังแนวแรง (แขนของโมเมนต์)
  • หน่วย SI: นิวตัน-เมตร ($\mathrm{N\cdot m}$)
• เงื่อนไขโมเมนต์เป็นศูนย์:
  • หากแนวแรงพุ่งผ่านจุดหมุนโดยตรง หรือแรงมีทิศขนานกับเวกเตอร์ $\vec{r}$ ($heta = 0^\circ$ หรือ $180^\circ$) ค่า $\sin\theta = 0$ ทำให้โมเมนต์เป็นศูนย์ แม้ขนาดของแรงจะมากเพียงใดก็ตาม

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • ภาพรวมและสาระสำคัญ: คานมีจุดหมุนที่จุด $O$ และรับแรง $F$ ที่จุด $A$ โดยเวกเตอร์ $r$ ชี้ตามแนวคาน แรง $F$ ทำมุม $\theta$ กับ $r$ และมีระยะตั้งฉาก $d_\perp$ จาก $O$ ไปยังแนวแรง
  • ส่วนประกอบและสัญลักษณ์: จุดหมุน $O$, จุดออกแรง $A$, เวกเตอร์ $r$, เวกเตอร์แรง $F$, มุม $\theta$ วัดจากแนว $r$ ถึงทิศ $F$, เส้นประ $d_\perp$ ตั้งฉากกับแนวแรง
  • ข้อจำกัดและการนำไปใช้: คำนวณโมเมนต์ได้จากทั้ง $rF\sin\theta$ หรือ $Fd_\perp$ โดยห้ามวัดมุมจากเส้นผิดคู่

2. กำหนดเครื่องหมายและเลือกจุดหมุนที่ช่วยให้คิดง่าย

• หลักการตั้งสมการโมเมนต์:

• ข้อตกลงเครื่องหมาย:
  • ในปัญหาบนระนาบสองมิติ นิยมกำหนดให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก ($+$) และตามเข็มนาฬิกาเป็นลบ ($-$) หรือกลับกันได้ตามความสะดวก แต่ต้องรักษาความคงเส้นคงวาตลอดการคำนวณ
• กลยุทธ์การเลือกจุดหมุน:
  • แม้โมเมนต์ของแรงแต่ละตัวจะขึ้นกับจุดอ้างอิงที่เลือก แต่เมื่อวัตถุอยู่ในสมดุล ผลรวมโมเมนต์รอบจุดใด ๆ จะต้องเป็นศูนย์เสมอ ($\sum \tau = 0$)
  • เทคนิคการลดตัวแปร: ควรเลือกจุดหมุนที่แนวแรงของแรงที่ไม่ทราบค่าพุ่งผ่าน เพื่อให้ระยะตั้งฉาก $d_\perp = 0$ ซึ่งจะตัดแรงนั้นออกจากสมการโมเมนต์ ทำให้แก้สมการได้รวดเร็วขึ้น

3. วัตถุแข็งเกร็งอยู่นิ่งต้องสมดุลทั้งเลื่อนและหมุน

• เงื่อนไขสมดุลสมบูรณ์ของวัตถุแข็งเกร็ง (Complete Equilibrium):

• ชุด 3 สมการสมดุลในระนาบ:
  1. $\sum F_x = 0$ (ป้องกันความเร่งเชิงเส้นในแนวราบ)
  2. $\sum F_y = 0$ (ป้องกันความเร่งเชิงเส้นในแนวดิ่ง)
  3. $\sum \tau = 0$ (ป้องกันความเร่งเชิงมุมรอบจุดหมุนใด ๆ)
• การแยกแยะผลลัพธ์:
  • หาก $\sum \vec{F} = 0$ แต่ $\sum \tau \ne 0$ วัตถุจะหมุนรอบตัวเองโดยจุดศูนย์กลางมวลไม่เลื่อนตำแหน่ง
  • หาก $\sum \tau = 0$ แต่ $\sum \vec{F} \ne 0$ วัตถุจะเลื่อนตำแหน่งด้วยความเร่งโดยไม่หมุน

4. โมเมนตัมเชิงมุมเมื่อรัศมีการหมุนเปลี่ยน

• การอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum Conservation):

• นิยามและกฎการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม:
  • โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคมวล $m$ ที่หมุนเป็นวงกลมรอบแกนตรึงด้วยความเร็วเชิงมุม $\omega$ ที่รัศมี $r$: $$L = I\omega = mr^2\omega$$
  • กฎการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม: $\sum \tau_{\text{ext}} = \frac{dL}{dt}$ รอบแกนหมุนนั้น
• กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม:
  • หากไม่มีทอร์กภายนอกมากระทำรอบแกนหมุน ($\sum \tau_{\text{ext}} = 0$) โมเมนตัมเชิงมุมของระบบจะคงตัวเสมอ: $$m r_i^2 \omega_i = m r_f^2 \omega_f \implies \omega_f = \omega_i \left(\frac{r_i}{r_f}\right)^2$$
  • ตัวอย่าง: หากระยะห่างจากแกนหมุนเพิ่มขึ้นเป็น $2$ เท่า ($r_f = 2r_i$) อัตราเร็วเชิงมุมจะลดลงเหลือเพียง $\tfrac{1}{4}$ ของเดิม
  • ข้อควรระวังเรื่องพลังงาน: พลังงานจลน์ของการหมุน ($E_k = \tfrac{1}{2}I\omega^2$) ไม่จำเป็นต้องคงที่ เพราะการดึงมวลเข้าหารัศมีใหม่จำเป็นต้องมีงานจากแรงภายในระบบ

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด