โดเมน

การแปลงรูปอาจทำให้ดูเหมือนจำนวนที่เคยถูกห้ามกลับมาใช้ได้ จึงต้องหาค่าอนุญาตจากนิพจน์เดิมก่อนคำนวณหรือยกกำลังสอง

รู้ว่าเศษส่วนห้ามตัวส่วนเป็นศูนย์ และรากคู่ในจำนวนจริงต้องมีจำนวนใต้รากไม่ติดลบ

เข้าใจเนื้อหาและเงื่อนไข

1. รวบรวมเงื่อนไขทุกส่วนของนิพจน์

• การกำหนดข้อจำกัดโดเมน:
  • นิพจน์ใต้รากอันดับคู่: ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ($\ge 0$) เสมอ
  • ตัวส่วนของเศษส่วน: ต้องไม่เท่ากับศูนย์ ($\ne 0$) เสมอ
  • รากอันดับคู่อยู่ที่ตัวส่วน: ต้องมากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด ($> 0$) เพื่อป้องกันทั้งการติดลบใต้รากและส่วนเป็นศูนย์
• โดเมนของเลขชี้กำลังตรรกยะ $a^{p/q}$ (รูปอย่างต่ำ):
  • ฐานบวก ($a > 0$): ใช้ได้ทุกเลขชี้กำลัง
  • ฐานศูนย์ ($a = 0$): เลขชี้กำลังต้องเป็นบวก ($\frac{p}{q} > 0$)
  • ฐานลบ ($a < 0$): ตัวส่วน $q$ ต้องเป็นจำนวนคี่เท่านั้น
  • หากเลขชี้กำลังติดลบ: ฐานต้องไม่เป็นศูนย์ ($a \ne 0$)
• การหาโดเมนรวม:
  • โดเมนของนิพจน์ประกอบทั้งหมดคือ จุดตัด (Intersection, $\cap$) ของทุกเงื่อนไขย่อยเข้าด้วยกัน

• จุดสังเกตสำคัญในภาพ:
  • การอินเตอร์เซกต์เงื่อนไข: จากนิพจน์ $\frac{\sqrt{6-2x}}{x-1}$ เงื่อนไขใต้รากคือ $6 - 2x \ge 0 \implies x \le 3$ เงื่อนไขตัวส่วนคือ $x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1$ กราฟเส้นจำนวนจึงแสดงช่วง $(-\infty, 1) \cup (1, 3]$ โดยเปิดที่ $1$ และปิดที่ $3$

2. เงื่อนไขเดิมยังอยู่หลังการตัดทอน

• การตัดทอนไม่ลบล้างเงื่อนไขตั้งต้น:
  • เมื่อแยกตัวประกอบแล้วตัดพจน์ร่วม รูปย่ออาจดูเหมือนนิยามได้กว้างขึ้น
  • เช่น $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ จะเป็นจริงเฉพาะเมื่อ $x \ne 2$ เท่านั้น เพราะนิพจน์เดิมมีส่วนเป็น $x - 2$
  • ห้ามคืนค่าที่ถูกตัดทอนกลับเข้ามาในโดเมน
• การเกิดคำตอบเกิน (Extraneous Solutions):
  • การยกกำลังคู่ (เช่น ยกกำลังสอง) ทั้งสองข้างของสมการ อาจสร้างคำตอบเกินขึ้นมาได้ เพราะ $(-k)^2 = k^2$
  • จึงจำเป็นต้องนำคำตอบทุกค่าที่หาได้กลับไปแทนในสมการเดิมเสมอ

3. รายงานโดเมนและคำตอบเป็นเซต

• แนวปฏิบัติในการสรุปคำตอบ:
  • เขียนโดเมนโดยรวบรวมทุกเงื่อนไขอย่างรอบคอบ ไม่ด่วนสรุปจากส่วนใดส่วนหนึ่งเพียงจุดเดียว
  • ในการแก้สมการติดกรณฑ์อันดับคู่ ($\sqrt{f(x)} = g(x)$):
    • ต้องตั้งเงื่อนไขล่วงหน้าว่าข้างที่ไม่ใช่กรณฑ์ต้องไม่ติดลบ ($g(x) \ge 0$) เนื่องจากรากหลักมีค่าไม่ติดลบ
    • หลังแก้สมการเสร็จแล้ว ต้องตรวจสอบคำตอบย้อนกลับในสมการเดิมเพื่อคัดคำตอบเกินออกอย่างเด็ดขาด

ความรู้นี้ใช้กับโจทย์แบบไหน?

ตัวอย่างโจทย์พร้อมวิธีคิด